回帰式の推定

しかし、一人あたり選挙費用が得票率に与える影響は、すべての候補者で同じとは限らないだろう。たとえば、政党による違いがあるかもしれない。2009年選挙では民主党が勝利して政権の座をとった。この選挙では民主党の人気が強かったので、民主党の候補者は、選挙費用の額にかかわらず、 高い得票率を得たかもしれない。「民主党議員であるかどうか（ダミー変数）」が「選挙費用（連続変数）」の影響力を変えた可能性があるということである。

言い換えると、選挙費用の影響力の強さは、民主党議員であるかどうかという別の要因（説明変数）に依存しているかもしれない。このように、1つの説明変数の影響力の大きさが、他の説明変数の値によって変わることを相互作用（interaction effect; 交互作用）と呼ぶ。

この相互作用を検討してみよう。 回帰モデルは、 \[\mbox{得票率} = \beta_0 + \beta_1 一人当たり選挙費用 + \beta_2 民主党 + \beta_3 一人当たり選挙費用 \cdot 民主党 + 誤差\] と表される。ここで、\(一人当たり選挙費用 \cdot 民主党\) の部分を相互作用項（interaction term; 交互作用項、交差項）と呼ぶ。

このモデルの回帰係数をRで推定してみよう。 まず、民主党ダミーを作る必要がある。 政党 party 変数を表にしてみる。

table(HR_2009$party)

## 
##   msz   JCP   LDP   CGP   oki   tai  saki   NFP   DPJ   SDP    LF  NJSP 
##    60   152   290     6     0     0     0     0   268    31     0     0 
##   DRF  kobe   nii   sei  JNFP bunka green    LP    RC   muk    CP   NCP 
##     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0 
##    ND   son   sek    NP   NNP   NPJ   NPD minna     R     H   sho 
##     0     0     0     0     9     2     0    14     1   291     0

民主党は DPJ（Democratic Party of Japan）なので、party 変数が “DPJ”のときは1、それ以外のときは 0 をとる dpj という名前のダミー変数を作る。

HR_2009 <- mutate(HR_2009, dpj = as.numeric(party == "DPJ"))

ダミー変数がちゃんと作れたか確認する。

table(HR_2009$dpj)

## 
##   0   1 
## 856 268

思いどおりのダミー変数ができた。

この変数を使って回帰係数を推定する。相互作用項とその相互作用に関係する変数そのものをすべて説明変数として含む重回帰分析をRで行う場合、以下のように * を使って式を表すことができる。

fit_2 <- lm(voteshare ~ c_exppp*dpj, data = HR_2009)
display(fit_2, detail = TRUE)

## lm(formula = voteshare ~ c_exppp * dpj, data = HR_2009)
##             coef.est coef.se t value Pr(>|t|)
## (Intercept)  20.04     0.37   54.40    0.00  
## c_exppp       0.91     0.02   41.49    0.00  
## dpj          31.42     0.80   39.31    0.00  
## c_exppp:dpj  -0.83     0.06  -14.36    0.00  
## ---
## n = 1124, k = 4
## residual sd = 10.73, R-Squared = 0.77

この結果は、どのように解釈すべきだろうか。まず、 切片の係数である20.04 は何を示しているだろうか。 これは、説明変数の値がすべて0のときの結果変数の予測値である。 つまり、「中心化された一人あたり選挙費用」が0（すなわち、一人当たり選挙費用が平均値）で、「民主党ダミー」が0（すなわち、民主党以外の候補者）の得票率の予測値は、20.04パーセントということである。

次に、選挙費用の係数である0.91 は何を示しているだろうか。この数値は、他の説明変数の値が等しければ、一人当たり選挙費用が一円増えるごとに、得票率は0.91 ポイント増加するという意味である。しかし、一人あたり選挙費用だけを増やすことは（一般ん的には）できない。なぜなら、一人当たり選挙費用の値を変えると、「一人当たり選挙費用 \(\times\) 民主党」の値も変わってしまうからだ（すぐに明らかになるが、民主党ダミーが0であれば選挙費用だけ動かせる）。

同様に、民主党ダミーの係数である 31.42 も、そのままでは解釈できない。

したがって、相互作用を考慮するときには、解釈に工夫が必要である。 今考えているモデルのように、相互作用を構成する変数の1つがダミー変数のときは、場合分けして考えるのが簡単である。

結果の図示

以上の結果は、ggplot() で簡単に図示できる。

int_1 <- ggplot(HR_2009, aes(x = c_exppp, y = voteshare, color = as.factor(dpj))) +
  geom_smooth(method = "lm") +
  geom_point() +
  labs(x = "一人当たり選挙費用の偏差（円）", y = "得票率 (%)") +
  scale_color_discrete(name = "政党", labels = c("民主党以外", "民主党"))
print(int_1)

相互作用そのものの検証

以上の結果から、2009年の総選挙における選挙費用の影響は、民主党の候補者とそれ以外の候補者で異なるように見える。しかし、本当に相互作用はある（統計的に有意）なのだろうか。それを確かめるために、interplot::interplot() を使う。この関数を使うときは、相互作用を含む回帰モデルと、注目する変数（ここでは選挙費用）、相互作用する変数（ここでは民主党ダミー）を指定する。ただし、変数は引用符で囲む。

res_int_2 <- interplot(fit_2, var1 = "c_exppp", var2 = "dpj") +
  labs(x = "民主党ダミー", y = "選挙費用が得票率に与える影響")
print(res_int_2)

図中の点は、民主党ダミーが0と1の場合それぞれの選挙費用の影響の点推定値である。また、点についている線分は、係数の95%信頼区間である。2つの信頼区間が重なっていないことから、私たちが想定した相互作用は実際にありそうだということがわかる。