Rによる計量政治学：練習問題の解答例

Q11-1-1

得票率 voteshare、当選回数 previous 、年齢 age の関係を、次の線形モデルで表す（\(\epsilon_i\)は誤差項）。 \[ 得票率_i = \beta_0 + \beta_1 当選回数_i + \beta_2 年齢_i + \epsilon_i. \]

母数について、以下の2組の仮説を立てる。

1. 係数を包括的に検定するための仮説

• 帰無仮説：\(\beta_1 = \beta_2 = 0\)
• 対立仮説：\(\beta_1\)と\(\beta_2\)のうち、少なくとも一つは0ではない

2. 係数を個別に検定するための仮説（\(k \in \{1, 2\}\)）

• 帰無仮説：\(\beta_k = 0\)
• 対立仮説：\(\beta_k \neq 0\)

回帰分析で、このモデルの母数である \(\beta_0\)、\(\beta_1\)、\(\beta_2\) を推定する。

fit_q11 <- lm(voteshare ~ previous + age, data = DPJ2012)
summary(fit_q11)

## 
## Call:
## lm(formula = voteshare ~ previous + age, data = DPJ2012)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -21.9214  -5.7090  -0.8234   5.5614  24.3452 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 29.44365    2.52823  11.646  < 2e-16
## previous     3.29999    0.26279  12.558  < 2e-16
## age         -0.23518    0.05485  -4.287 2.55e-05
## 
## Residual standard error: 8.282 on 261 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.3857, Adjusted R-squared:  0.381 
## F-statistic: 81.93 on 2 and 261 DF,  p-value: < 2.2e-16

包括的な仮説から検定しよう。上で示された結果のうち、最後の行にある\(F\)統計量の\(p値\) を見ると、2.2e-16$ = 2.2 10^{-16} 0\(未満であり、\)p$値が\(0.05\)より小さいので、有意水準5%で帰無仮説を棄却する。すなわち、\(\beta_1\)と\(\beta_2\)のうち、少なくとも一方は0ではない。言い換えると、（上で想定したモデルが正しいなら）当選回数と年齢のうち少なくとも一方は得票率に影響を与える。

次に、係数を個別に検定しよう。まず、過去の当選回数 (previous) の係数の\(p\)値は、2e-16 \(= 2\cdot10^{-16} \approx 0\)未満であり、\(p\)値が\(0.05\)より小さいので、有意水準5%で帰無仮説を棄却する。すなわち、過去の当選回数は、得票率に影響を与える。\(\beta_1\)の推定値は約\(3.3\)だから、年齢を一定に保つと、過去の当選回数が1回増えるごとに、得票率は平均すると\(3.3\)パーセントポイントずつ上昇すると考えられる。過去の当選回数が3回異なると、\(9.9\)パーセントポイント得票率に差が出るということなので、この効果は実質的にも意味がある（つまり、選挙結果を左右し得る）効果であると考えられる。

同様に、年齢 (age) の係数の\(p\)値は、2.55e-05 \(= 2.55 \cdot 10^{-5} \approx 0 < 0.05\)だから、有意水準5%で帰無仮説を棄却する。すなわち、年齢は得票率に影響を与える。\(\beta_2\)の推定値は約\(-0.24\)だから、過去の当選回数を一定に保つと、年齢が1歳上がるごとに得票率が\(-0.24\)パーセントポイントずつ上がる、つまり、\(0.24\)パーセントポイントずつ下がることが予測される。 一回り年齢が違うと、\(2.82\)パーセントポイントだけ得票率に差が出るということなので、無視できるほど小さい差ではないが、実質的に大きな効果があると言い切ることは難しい。30歳の候補と60歳の候補を比べると、\(7.06\)パーセントポイントの差になるので、年齢差が大きければ実質的に意味がある違いが出ることがわかる（2012年の民主党候補のうち、最年少候補は25歳、最年長候補は74歳である）。

最後に、分析結果を図にまとめる。

coefs_q11 <- coefplot(
  model = fit_q11,    # 図示するモデルを指定
  intercept = FALSE,  # 切片を表示しない
  pointSize = 4,      # 点の大きさを4に
  ## 内側の線を50%信頼区間にする。既定値は1（「点推定値±1標準誤差」）
  innerCI = qt(df = summary(fit_q11)$df[2],
               p = 0.25, lower.tail = FALSE),
  lwdInner = 2.5,     # 内側の線の太さを2.5に
  ## 外側の線を95%信頼区間にする。既定値は2（「点推定値±2標準誤差」）
  outerCI = qt(df = summary(fit_q11)$df[2],
               p = 0.025, lower.tail = FALSE),
  lwdOuter = 0.5,     # 外側の線の太さを0.5に
  ## 説明変数を日本語で表示する
  newNames = list(previous = "過去の当選回数", age = "年齢"),
  xlab = "係数の推定値",
  ylab = "説明変数",
  title = "2012年衆院選における民主党候補の得票率 (%)を予測するモデル"
)
print(coefs_q11)

この図が推定結果をまとめている。縦軸にはモデルに含まれる説明変数が並んでいる。横軸は、係数の推定値の大きさを表している。図中の点は、各説明変数の係数の点推定値である。また、水平に引かれた線は、内側の太い線が50パーセント信頼区間、外側の細い線が95パーセント信頼区間である。いずれの変数についても、95パーセント信頼区間がゼロを跨いでいないので、5%の有意水準で、推定された効果は統計的に有意であることがわかる。この分析の標本サイズは264、自由度調整済み決定係数は0.38である。

Q11-1-2

得票率 voteshare を応答変数、選挙費用 expm（100万円）を説明変数と想定して散布図を描き、回帰直線とその95%信頼区間を示す。

scat_q11 <- ggplot(DPJ2012, aes(x = expm, y = voteshare)) +
  geom_point() +
  geom_smooth(method = "lm") +
  labs(x = "選挙費用（100万円）", y = "得票率 (%)")
print(scat_q11)