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Q12-1

まず、ビールの出荷量に関する分析を実行する(説明は省略する)。

## 
## Call:
## lm(formula = beer ~ temp, data = Beer)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -42.860 -20.242   0.882  11.037  76.939 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept)   87.546     21.735   4.028  0.00241
## temp           2.104      1.165   1.805  0.10117
## 
## Residual standard error: 31.98 on 10 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.2458, Adjusted R-squared:  0.1704 
## F-statistic: 3.259 on 1 and 10 DF,  p-value: 0.1012

この分析の残差プロットを描く。

はっきりとしたパタンは見られないものの、隣り合う予測値同士の残差が近いところが多いように見える。また、分散は均一ではないようにも見えるが、一つだけある外れ値を除けば、分散が均一だと言えないこともなさそうだ。標本サイズ(観測数)が12しかないので、はっきりしたことはわからない。

次に、正規QQプロットを描いてみよう。

点が45度線からずれており、誤差の分布が正規分布に従っていないように見える。標本サイズが小さいので、やはりはっきりしたことはわからないが、このモデルの正しさを積極的に支持することは難しそうである。

Q12-2

Rds形式の衆院選データ (hr-data.Rds) を読み込む。 手元にない場合はまずダウンロードする。

正しく読み込めたかどうか確認する。

## Observations: 8,803
## Variables: 22
## $ year       <int> 1996, 1996, 1996, 1996, 1996, 1996, 1996, 1996, 199...
## $ ku         <chr> "aichi", "aichi", "aichi", "aichi", "aichi", "aichi...
## $ kun        <int> 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, ...
## $ status     <fct> 現職, 元職, 現職, 新人, 新人, 新人, 新人, 現職, 元職, 新人, 新人, 新人, 新人,...
## $ name       <chr> "KAWAMURA, TAKASHI", "IMAEDA, NORIO", "SATO, TAISUK...
## $ party      <chr> "NFP", "LDP", "DPJ", "JCP", "others", "kokuminto", ...
## $ party_code <int> 8, 1, 3, 2, 100, 22, 99, 8, 1, 3, 2, 10, 100, 99, 2...
## $ previous   <int> 2, 3, 2, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 3, ...
## $ wl         <fct> 当選, 落選, 落選, 落選, 落選, 落選, 落選, 当選, 落選, 復活当選, 落選, 落選, 落...
## $ voteshare  <dbl> 40.0, 25.7, 20.1, 13.3, 0.4, 0.3, 0.2, 32.9, 26.4, ...
## $ age        <int> 47, 72, 53, 43, 51, 51, 45, 51, 71, 30, 31, 44, 61,...
## $ nocand     <int> 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 7, 7, ...
## $ rank       <int> 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1, 2, ...
## $ vote       <int> 66876, 42969, 33503, 22209, 616, 566, 312, 56101, 4...
## $ eligible   <int> 346774, 346774, 346774, 346774, 346774, 346774, 346...
## $ turnout    <dbl> 49.2, 49.2, 49.2, 49.2, 49.2, 49.2, 49.2, 51.8, 51....
## $ exp        <int> 9828097, 9311555, 9231284, 2177203, NA, NA, NA, 129...
## $ expm       <dbl> 9.828097, 9.311555, 9.231284, 2.177203, NA, NA, NA,...
## $ vs         <dbl> 0.400, 0.257, 0.201, 0.133, 0.004, 0.003, 0.002, 0....
## $ exppv      <dbl> 28.341505, 26.851941, 26.620462, 6.278449, NA, NA, ...
## $ smd        <fct> 当選, 落選, 落選, 落選, 落選, 落選, 落選, 当選, 落選, 落選, 落選, 落選, 落選,...
## $ party_jpn  <chr> "新進党", "自民党", "民主党", "共産党", "その他", "国民党", "無所属", "新...

2012年衆院選の自民党候補だけを抜き出してデータフレームを作る。

Q11-1-1

得票率 voteshare、選挙費用 expm 、年齢 age の関係を、次の線形モデルで表す。 \[得票率_i = \beta_0 + \beta_1 選挙費用_i + \beta_2 年齢_i + \epsilon_i.\]

母数について、以下の2組の仮説を立てる。

  1. 係数を包括的に検定するための仮説
  • 帰無仮説:\(\beta_1 = \beta_2 = 0\)
  • 対立仮説:\(\beta_1\)\(\beta_2\)のうち、少なくとも一つは0ではない
  1. 係数を個別に検定するための仮説(\(k \in \{1, 2\}\)
  • 帰無仮説:\(\beta_k = 0\)
  • 対立仮説:\(\beta_k \neq 0\)

有意水準を5% (0.05) に設定し、回帰分析でこのモデルの母数である \(\beta_0\)\(\beta_1\)\(\beta_2\) の推定と検定を行う。

## 
## Call:
## lm(formula = voteshare ~ expm + age, data = LDP2012)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -23.392  -8.661  -1.616   5.744  39.938 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 25.95257    3.60177   7.206 5.30e-12
## expm         0.63259    0.18087   3.498 0.000545
## age          0.26858    0.06361   4.223 3.26e-05
## 
## Residual standard error: 11.94 on 282 degrees of freedom
##   (4 observations deleted due to missingness)
## Multiple R-squared:  0.1071, Adjusted R-squared:  0.1007 
## F-statistic: 16.91 on 2 and 282 DF,  p-value: 1.164e-07

包括的な仮説から検定しよう。上で示された結果のうち、最後の行にある\(F\)統計量の\(p値\) を見ると、\(0.00783 < 0.05\) だから、有意水準5%で帰無仮説を棄却する。すなわち、\(\beta_1\)\(\beta_2\)のうち、少なくとも一方は0ではない。言い換えると、(上で想定したモデルが正しいなら)選挙費用と年齢のうち少なくとも一方は得票率に影響を与える。

次に、係数を個別に検定しよう。まず、過去の選挙費用 (expm) の係数の\(p\)値は、\(0.000545 < 0.05\) だから、有意水準5%で帰無仮説を棄却する。すなわち、選挙費用は得票率に影響を与える。\(\beta_1\)の推定値は約\(0.63\)だから、年齢を一定に保つと、選挙費用が100万円増えるごとに、得票率は平均すると\(0.63\)パーセントポイントずつ上昇すると考えられる。この選挙における自民党候補の選挙費用の標準偏差は、3.94百万円である。選挙費用が400万円(おおよそ1標準偏差分)異なると、\(2.53\)パーセントポイント得票率に差が出るということなので、この効果は実質的にはそれほど重要ではなさそうだ。

年齢 (age) の係数の\(p\)値は、\(0.0139 < 0.05\)だから、有意水準5%で帰無仮説を棄却する。すなわち、年齢は得票率に影響を与える。\(\beta_2\)の推定値は約\(0.27\)だから、過去の当選回数を一定に保つと、年齢が1歳上がるごとに得票率が\(0.27\)パーセントポイントずつ上がることが予測される。 一回り年齢が違うと、\(3.22\)パーセントポイントだけ得票率に差が出るということなので、無視できるほど小さい差ではないが、実質的に大きな効果があると言い切ることは難しい。30歳の候補と60歳の候補を比べると、\(8.06\)パーセントポイントの差になるので、年齢差が大きければ実質的に意味がある違いが出ることがわかる(2012年の自民候補のうち、最年少候補は28歳、最年長候補はは78歳である)。

この分析結果を図にまとめる。

この図が推定結果をまとめている。縦軸にはモデルに含まれる説明変数が並んでいる。横軸は、係数の推定値の大きさを表している。図中の点は、各説明変数の係数の点推定値である。また、水平に引かれた線は、内側の太い線が50パーセント信頼区間、外側の細い線が95パーセント信頼区間である。いずれの変数についても、95パーセント信頼区間がゼロを跨いでいないので、推定された効果は5%の有意水準で統計的に有意であることがわかる。この分析の標本サイズは285、自由度調整済み決定係数は0.1である。