Research Methods in Political Science II
Day 3: Exercises
Yuki Yanai
November 19, 2016
Preparation
library('RCurl')
library('ggplot2')
library('ggmcmc')
library('GGally')
library('lattice')
library('tagcloud')
library('ellipse')
library('dplyr')
library('rstan')
library('rethinking')
rstan_options(auto_write = TRUE)
options(mc.cores = parallel::detectCores())Exercises
Exercises for Day 3. All exercises are based on Matsuura (2016).
Q1. Linear Model: Multiple Regression
url <- getURL('https://raw.githubusercontent.com/MatsuuraKentaro/RStanBook/master/chap05/input/data-attendance-1.txt')
d1 <- read.csv(text = url)
glimpse(d1)## Observations: 50
## Variables: 3
## $ A <int> 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,...
## $ Score <int> 69, 145, 125, 86, 158, 133, 111, 147, 146, 145, 141, 137...
## $ Y <dbl> 0.286, 0.196, 0.261, 0.109, 0.230, 0.350, 0.330, 0.194, ...Understand the data.
summary(d1)## A Score Y
## Min. :0.0 Min. : 51.0 Min. :0.0270
## 1st Qu.:0.0 1st Qu.:105.2 1st Qu.:0.1953
## Median :0.0 Median :120.5 Median :0.2700
## Mean :0.4 Mean :121.7 Mean :0.2635
## 3rd Qu.:1.0 3rd Qu.:142.5 3rd Qu.:0.3430
## Max. :1.0 Max. :185.0 Max. :0.4230with(d1, table(A))## A
## 0 1
## 30 20A is a dummy variable. Make it a factor variable.
d1 <- d1 %>% mutate(A = as.factor(A))Check the distribution of the variables and bivariate relationships.
ggpairs(d1)## `stat_bin()` using `bins = 30`. Pick better value with `binwidth`.
## `stat_bin()` using `bins = 30`. Pick better value with `binwidth`.
A different visualiztion.
n_col <- ncol(d1)
ggp <- ggpairs(d1, upper = 'blank', diag = 'blank', lower = 'blank')
# Histogram with density for each variable
for (k in 1:n_col) {
x <- d1[, k]
p <- ggplot(data.frame(x, A = d1$A), aes(x))
if (class(x) == 'factor') {
p <- p + geom_bar(aes(fill = A))
} else {
bw <- (max(x) - min(x))/10
p <- p +
geom_histogram(binwidth = bw, aes(fill = A)) +
geom_line(eval(bquote(aes(y = ..count..*.(bw)))),
stat = 'density')
}
p <- p +
geom_label(data = data.frame(x = -Inf, y = Inf, label = colnames(d1)[k]),
aes(x = x, y = y, label = label), hjust = 0, vjust = 1)
ggp <- putPlot(ggp, p, k, k)
}
# visualize correlation by ellipse
color_at <- seq(-1, 1, length.out = 101)
for (i in 1:(n_col - 1)) {
for (j in (i + 1):n_col) {
x <- as.numeric(d1[,i])
y <- as.numeric(d1[,j])
r <- cor(x, y, method = 'spearman', use = 'pairwise.complete.obs')
zcol <- level.colors(r, at = color_at,
col.regions = smoothPalette(-color_at, pal = 'RdBu'))
textcol <- ifelse(abs(r) < 0.4, 'gray', 'black')
ell <- ellipse(r, level = .95, type = 'l', npoints = 50,
scale = c(.2, .2), centre = c(.5, .5)) # "center" doesn't work!
p <- ggplot(data.frame(ell), aes(x = x, y = y))
p <- p + theme(
plot.background = element_blank(),
panel.grid.major = element_blank(),
panel.grid.minor = element_blank(),
panel.border = element_blank(),
axis.ticks = element_blank()
)
p <- p + geom_polygon(fill = zcol, color = zcol)
p <- p + geom_text(data = NULL, x = .5, y = .5,
label = round(r, 2), size = 4, col = textcol)
ggp <- putPlot(ggp, p, i, j)
}
}
# scatter plot or violin-and-box plots
for (j in 1:(n_col - 1)) {
for (i in (j + 1):n_col) {
x <- d1[,j]
y <- d1[,i]
p <- ggplot(data.frame(x, y, A = d1$A),
aes(x = x, y = y, shape = A, fill = A))
if (class(x) == 'factor') {
p <- p + geom_violin() +
geom_boxplot(aes(group = x), fill = 'white',
outlier.size = .1, width = .5)
} else {
p <- p + geom_point(aes(color = A), size = 2)
}
ggp <- putPlot(ggp, p, i, j)
}
}
print(ggp)
A statistical model: \[Y_n \sim \mbox{Normal}(\mu_n, \sigma),\] \[\mu_n = \beta_1 + \beta_2 A_n + \beta_3 Score_n,\] \[\beta_1 \sim \mbox{Normal}(0, 10),\] \[\beta_2 \sim \mbox{Normal}(0, 10),\] \[\beta_3 \sim \mbox{Normal}(0, 10),\] \[\sigma \sim \mbox{Cauchy}^{+}(0, 20),\] where \(n = 1, 2, \dots, N\).
// d3-ex1.stan
data {
int N;
real<lower=0, upper=1> Y[N];
int<lower=0, upper=1> A[N];
real<lower=0, upper=1> Score[N];
}
parameters {
real b1;
real b2;
real b3;
real<lower=0> sigma;
}
transformed parameters {
real mu[N];
for (n in 1:N)
mu[n] = b1 + b2*A[n] + b3*Score[n];
}
model {
for (n in 1:N)
Y[n] ~ normal(mu[n], sigma);
b1 ~ normal(0, 10);
b2 ~ normal(0, 10);
b3 ~ normal(0, 10);
sigma ~ cauchy(0, 20);
}
generated quantities {
real y_pred[N];
real log_lik[N];
for (n in 1:N) {
y_pred[n] = normal_rng(mu[n], sigma);
log_lik[n] = normal_lpdf(Y[n] | mu[n], sigma);
}
}Compile the model.
stan_ex1 <- stan_model('stan-models/d3-ex1.stan')Sample. Scale the variable Score so that it takes values between 0 and 1.
myd <- list(N = nrow(d1), Y = d1$Y,
A = as.numeric(d1$A == '1'), Score = d1$Score/200)
fit_ex1 <- sampling(stan_ex1, data = myd, seed = 2016-11-18,
chains = 4, iter = 3000, warmup = 1500)Check the result.
print(fit_ex1)## Inference for Stan model: d3-ex1.
## 4 chains, each with iter=3000; warmup=1500; thin=1;
## post-warmup draws per chain=1500, total post-warmup draws=6000.
##
## mean se_mean sd 2.5% 25% 50% 75% 97.5% n_eff
## b1 0.12 0.00 0.03 0.06 0.10 0.12 0.14 0.19 2072
## b2 -0.14 0.00 0.01 -0.17 -0.15 -0.14 -0.13 -0.12 3691
## b3 0.32 0.00 0.05 0.22 0.29 0.33 0.36 0.42 2025
## sigma 0.05 0.00 0.01 0.04 0.05 0.05 0.06 0.06 2776
## mu[1] 0.24 0.00 0.02 0.20 0.22 0.24 0.25 0.27 2639
## mu[2] 0.22 0.00 0.01 0.19 0.21 0.22 0.22 0.24 3943
## mu[3] 0.33 0.00 0.01 0.31 0.32 0.33 0.33 0.34 4680
## mu[4] 0.12 0.00 0.01 0.09 0.11 0.12 0.13 0.15 3104
## mu[5] 0.24 0.00 0.01 0.21 0.23 0.24 0.25 0.27 3436
## mu[6] 0.34 0.00 0.01 0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 4423
## mu[7] 0.30 0.00 0.01 0.28 0.30 0.30 0.31 0.32 4200
## mu[8] 0.22 0.00 0.01 0.19 0.21 0.22 0.23 0.24 3857
## mu[9] 0.36 0.00 0.01 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 3722
## mu[10] 0.36 0.00 0.01 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 3772
## mu[11] 0.21 0.00 0.01 0.18 0.20 0.21 0.22 0.23 4199
## mu[12] 0.35 0.00 0.01 0.33 0.34 0.35 0.35 0.37 4210
## mu[13] 0.17 0.00 0.01 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 4531
## mu[14] 0.30 0.00 0.01 0.28 0.30 0.30 0.31 0.32 4200
## mu[15] 0.30 0.00 0.01 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 4074
## mu[16] 0.14 0.00 0.01 0.12 0.13 0.14 0.15 0.17 3673
## mu[17] 0.31 0.00 0.01 0.29 0.30 0.31 0.32 0.33 4378
## mu[18] 0.26 0.00 0.01 0.23 0.25 0.26 0.27 0.28 2887
## mu[19] 0.42 0.00 0.02 0.39 0.41 0.42 0.44 0.46 2699
## mu[20] 0.23 0.00 0.01 0.20 0.22 0.23 0.24 0.26 3507
## mu[21] 0.12 0.00 0.01 0.09 0.11 0.12 0.13 0.15 3104
## mu[22] 0.16 0.00 0.01 0.13 0.15 0.16 0.16 0.18 4095
## mu[23] 0.15 0.00 0.01 0.13 0.14 0.15 0.16 0.18 3999
## mu[24] 0.21 0.00 0.01 0.19 0.20 0.21 0.22 0.24 4125
## mu[25] 0.17 0.00 0.01 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 4508
## mu[26] 0.19 0.00 0.01 0.17 0.18 0.19 0.20 0.21 4568
## mu[27] 0.32 0.00 0.01 0.30 0.31 0.32 0.32 0.33 4606
## mu[28] 0.32 0.00 0.01 0.30 0.31 0.32 0.32 0.33 4606
## mu[29] 0.38 0.00 0.01 0.36 0.38 0.38 0.39 0.41 3156
## mu[30] 0.31 0.00 0.01 0.29 0.30 0.31 0.31 0.33 4321
## mu[31] 0.25 0.00 0.02 0.22 0.24 0.25 0.26 0.28 3226
## mu[32] 0.10 0.00 0.02 0.07 0.09 0.10 0.11 0.13 2816
## mu[33] 0.20 0.00 0.01 0.18 0.20 0.20 0.21 0.23 4307
## mu[34] 0.18 0.00 0.01 0.16 0.17 0.18 0.19 0.20 4595
## mu[35] 0.33 0.00 0.01 0.31 0.32 0.33 0.33 0.35 4667
## mu[36] 0.34 0.00 0.01 0.32 0.33 0.34 0.34 0.35 4516
## mu[37] 0.15 0.00 0.01 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 3951
## mu[38] 0.30 0.00 0.01 0.28 0.30 0.30 0.31 0.32 4137
## mu[39] 0.27 0.00 0.01 0.24 0.26 0.27 0.28 0.29 3077
## mu[40] 0.27 0.00 0.01 0.24 0.26 0.27 0.27 0.29 3046
## mu[41] 0.33 0.00 0.01 0.31 0.33 0.33 0.34 0.35 4593
## mu[42] 0.34 0.00 0.01 0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 4423
## mu[43] 0.32 0.00 0.01 0.30 0.32 0.32 0.33 0.34 4674
## mu[44] 0.36 0.00 0.01 0.34 0.36 0.36 0.37 0.39 3627
## mu[45] 0.42 0.00 0.02 0.38 0.41 0.42 0.43 0.45 2733
## mu[46] 0.29 0.00 0.01 0.27 0.29 0.29 0.30 0.31 3823
## mu[47] 0.21 0.00 0.02 0.17 0.19 0.21 0.22 0.25 2476
## mu[48] 0.37 0.00 0.01 0.34 0.36 0.37 0.37 0.39 3537
## mu[49] 0.28 0.00 0.01 0.26 0.28 0.28 0.29 0.31 3487
## mu[50] 0.14 0.00 0.01 0.12 0.13 0.14 0.15 0.17 3673
## y_pred[1] 0.24 0.00 0.06 0.13 0.20 0.23 0.27 0.35 5082
## y_pred[2] 0.21 0.00 0.05 0.11 0.18 0.21 0.25 0.32 5510
## y_pred[3] 0.33 0.00 0.05 0.22 0.29 0.33 0.36 0.43 6000
## y_pred[4] 0.12 0.00 0.05 0.01 0.08 0.12 0.16 0.23 5581
## y_pred[5] 0.24 0.00 0.05 0.13 0.20 0.23 0.27 0.34 6000
## y_pred[6] 0.34 0.00 0.05 0.24 0.30 0.34 0.37 0.45 6000
## y_pred[7] 0.30 0.00 0.05 0.20 0.27 0.30 0.34 0.41 5652
## y_pred[8] 0.22 0.00 0.05 0.11 0.18 0.22 0.25 0.32 6000
## y_pred[9] 0.36 0.00 0.05 0.26 0.33 0.36 0.40 0.46 5800
## y_pred[10] 0.36 0.00 0.05 0.25 0.32 0.36 0.40 0.47 5993
## y_pred[11] 0.21 0.00 0.05 0.10 0.17 0.21 0.24 0.31 5882
## y_pred[12] 0.35 0.00 0.05 0.24 0.31 0.35 0.38 0.45 6000
## y_pred[13] 0.17 0.00 0.05 0.07 0.14 0.17 0.21 0.28 5763
## y_pred[14] 0.30 0.00 0.05 0.20 0.27 0.30 0.34 0.41 5939
## y_pred[15] 0.30 0.00 0.05 0.20 0.27 0.30 0.34 0.40 5489
## y_pred[16] 0.14 0.00 0.05 0.04 0.11 0.14 0.18 0.25 5993
## y_pred[17] 0.31 0.00 0.05 0.20 0.27 0.31 0.34 0.41 6000
## y_pred[18] 0.26 0.00 0.05 0.15 0.22 0.26 0.29 0.36 5243
## y_pred[19] 0.42 0.00 0.05 0.32 0.39 0.42 0.46 0.53 4894
## y_pred[20] 0.23 0.00 0.05 0.13 0.20 0.23 0.27 0.34 6000
## y_pred[21] 0.12 0.00 0.05 0.01 0.08 0.12 0.15 0.23 5615
## y_pred[22] 0.16 0.00 0.05 0.05 0.12 0.16 0.19 0.26 5935
## y_pred[23] 0.15 0.00 0.05 0.05 0.12 0.15 0.19 0.26 6000
## y_pred[24] 0.21 0.00 0.05 0.11 0.18 0.21 0.25 0.32 6000
## y_pred[25] 0.17 0.00 0.05 0.07 0.13 0.17 0.21 0.27 5760
## y_pred[26] 0.19 0.00 0.05 0.08 0.15 0.19 0.22 0.29 6000
## y_pred[27] 0.32 0.00 0.05 0.21 0.28 0.32 0.35 0.42 5615
## y_pred[28] 0.32 0.00 0.05 0.21 0.28 0.32 0.35 0.42 6000
## y_pred[29] 0.38 0.00 0.05 0.28 0.35 0.38 0.42 0.49 6000
## y_pred[30] 0.31 0.00 0.05 0.20 0.27 0.31 0.34 0.41 6000
## y_pred[31] 0.25 0.00 0.05 0.14 0.21 0.25 0.29 0.35 5627
## y_pred[32] 0.10 0.00 0.05 -0.01 0.06 0.10 0.14 0.21 5710
## y_pred[33] 0.21 0.00 0.05 0.10 0.17 0.20 0.24 0.31 5244
## y_pred[34] 0.18 0.00 0.05 0.08 0.15 0.18 0.22 0.29 6000
## y_pred[35] 0.33 0.00 0.05 0.23 0.29 0.33 0.36 0.43 6000
## y_pred[36] 0.34 0.00 0.05 0.23 0.30 0.34 0.37 0.44 5816
## y_pred[37] 0.15 0.00 0.05 0.05 0.11 0.15 0.19 0.26 5596
## y_pred[38] 0.30 0.00 0.05 0.20 0.26 0.30 0.34 0.40 5311
## y_pred[39] 0.27 0.00 0.05 0.16 0.23 0.27 0.30 0.37 5007
## y_pred[40] 0.27 0.00 0.05 0.16 0.23 0.27 0.30 0.37 6000
## y_pred[41] 0.33 0.00 0.05 0.23 0.30 0.33 0.37 0.44 5670
## y_pred[42] 0.34 0.00 0.05 0.24 0.30 0.34 0.37 0.44 5872
## y_pred[43] 0.32 0.00 0.05 0.22 0.29 0.32 0.36 0.42 5942
## y_pred[44] 0.36 0.00 0.05 0.26 0.33 0.36 0.40 0.47 5384
## y_pred[45] 0.42 0.00 0.06 0.31 0.38 0.42 0.46 0.53 5350
## y_pred[46] 0.29 0.00 0.05 0.19 0.26 0.29 0.33 0.40 5803
## y_pred[47] 0.21 0.00 0.06 0.09 0.17 0.21 0.24 0.31 5567
## y_pred[48] 0.37 0.00 0.05 0.26 0.33 0.37 0.40 0.48 5918
## y_pred[49] 0.28 0.00 0.05 0.18 0.25 0.28 0.32 0.39 5542
## y_pred[50] 0.14 0.00 0.05 0.04 0.10 0.14 0.18 0.25 5873
## log_lik[1] 1.50 0.01 0.32 0.74 1.32 1.55 1.74 1.99 2443
## log_lik[2] 1.95 0.00 0.14 1.65 1.87 1.96 2.04 2.18 3468
## log_lik[3] 1.21 0.00 0.25 0.66 1.06 1.23 1.38 1.62 4703
## log_lik[4] 1.99 0.00 0.13 1.70 1.91 2.00 2.08 2.21 2458
## log_lik[5] 2.00 0.00 0.12 1.74 1.93 2.01 2.08 2.21 2781
## log_lik[6] 2.01 0.00 0.11 1.78 1.94 2.01 2.08 2.22 2855
## log_lik[7] 1.90 0.00 0.13 1.62 1.82 1.90 1.98 2.12 3463
## log_lik[8] 1.90 0.00 0.15 1.56 1.81 1.92 2.01 2.15 3610
## log_lik[9] 1.49 0.00 0.23 0.98 1.35 1.52 1.65 1.87 3914
## log_lik[10] 2.02 0.00 0.11 1.80 1.95 2.03 2.10 2.23 2725
## log_lik[11] 1.97 0.00 0.12 1.70 1.89 1.98 2.05 2.19 3034
## log_lik[12] 0.88 0.00 0.32 0.17 0.68 0.91 1.12 1.42 4276
## log_lik[13] 1.98 0.00 0.12 1.74 1.91 1.99 2.06 2.19 3044
## log_lik[14] 1.98 0.00 0.11 1.74 1.90 1.98 2.06 2.18 3002
## log_lik[15] 1.07 0.00 0.28 0.44 0.89 1.09 1.27 1.54 3750
## log_lik[16] 1.67 0.00 0.21 1.19 1.55 1.69 1.82 2.00 3927
## log_lik[17] 1.77 0.00 0.15 1.46 1.68 1.78 1.88 2.03 3987
## log_lik[18] 2.00 0.00 0.12 1.75 1.93 2.01 2.08 2.22 2530
## log_lik[19] 1.96 0.00 0.15 1.59 1.88 1.98 2.06 2.20 2640
## log_lik[20] 0.68 0.01 0.49 -0.43 0.40 0.74 1.03 1.47 3733
## log_lik[21] 1.38 0.01 0.32 0.65 1.18 1.41 1.61 1.89 3412
## log_lik[22] -0.61 0.01 0.70 -2.20 -1.05 -0.54 -0.11 0.56 3688
## log_lik[23] 0.87 0.01 0.38 0.00 0.64 0.91 1.15 1.49 4012
## log_lik[24] 1.96 0.00 0.13 1.68 1.88 1.97 2.05 2.19 3333
## log_lik[25] 1.01 0.00 0.33 0.29 0.81 1.04 1.24 1.55 4549
## log_lik[26] 1.53 0.00 0.22 1.04 1.40 1.55 1.69 1.90 4663
## log_lik[27] 1.95 0.00 0.12 1.70 1.87 1.96 2.03 2.17 3257
## log_lik[28] 2.01 0.00 0.11 1.80 1.94 2.02 2.09 2.21 2876
## log_lik[29] 2.01 0.00 0.12 1.77 1.94 2.02 2.09 2.22 2667
## log_lik[30] 1.47 0.00 0.20 1.04 1.35 1.49 1.61 1.81 4479
## log_lik[31] 2.00 0.00 0.12 1.75 1.93 2.01 2.09 2.22 2593
## log_lik[32] 0.98 0.01 0.47 -0.09 0.69 1.03 1.32 1.72 3073
## log_lik[33] -0.09 0.01 0.57 -1.36 -0.46 -0.04 0.32 0.85 3422
## log_lik[34] 1.83 0.00 0.16 1.49 1.73 1.84 1.93 2.09 4136
## log_lik[35] 1.27 0.00 0.23 0.75 1.12 1.28 1.43 1.65 4610
## log_lik[36] 1.91 0.00 0.12 1.66 1.83 1.91 1.99 2.13 3836
## log_lik[37] 1.94 0.00 0.13 1.64 1.86 1.95 2.03 2.16 3318
## log_lik[38] 0.29 0.01 0.44 -0.67 0.02 0.33 0.61 1.04 3929
## log_lik[39] 2.01 0.00 0.12 1.77 1.93 2.01 2.09 2.22 2503
## log_lik[40] 1.88 0.00 0.16 1.53 1.79 1.90 1.99 2.14 2907
## log_lik[41] 1.89 0.00 0.13 1.62 1.81 1.90 1.98 2.12 3662
## log_lik[42] 1.98 0.00 0.12 1.73 1.90 1.98 2.06 2.19 3037
## log_lik[43] 1.83 0.00 0.13 1.55 1.74 1.84 1.92 2.06 4270
## log_lik[44] 1.78 0.00 0.17 1.40 1.68 1.79 1.90 2.05 3836
## log_lik[45] 1.74 0.00 0.26 1.10 1.60 1.78 1.93 2.11 2911
## log_lik[46] 2.01 0.00 0.11 1.79 1.94 2.02 2.09 2.22 2786
## log_lik[47] 0.94 0.01 0.59 -0.43 0.60 1.03 1.37 1.82 2683
## log_lik[48] 1.98 0.00 0.12 1.73 1.91 1.99 2.07 2.20 3076
## log_lik[49] 1.97 0.00 0.12 1.72 1.90 1.98 2.06 2.19 2762
## log_lik[50] 0.33 0.01 0.53 -0.87 0.00 0.39 0.72 1.20 3623
## lp__ 120.93 0.03 1.40 117.47 120.25 121.23 121.96 122.70 1990
## Rhat
## b1 1
## b2 1
## b3 1
## sigma 1
## mu[1] 1
## mu[2] 1
## mu[3] 1
## mu[4] 1
## mu[5] 1
## mu[6] 1
## mu[7] 1
## mu[8] 1
## mu[9] 1
## mu[10] 1
## mu[11] 1
## mu[12] 1
## mu[13] 1
## mu[14] 1
## mu[15] 1
## mu[16] 1
## mu[17] 1
## mu[18] 1
## mu[19] 1
## mu[20] 1
## mu[21] 1
## mu[22] 1
## mu[23] 1
## mu[24] 1
## mu[25] 1
## mu[26] 1
## mu[27] 1
## mu[28] 1
## mu[29] 1
## mu[30] 1
## mu[31] 1
## mu[32] 1
## mu[33] 1
## mu[34] 1
## mu[35] 1
## mu[36] 1
## mu[37] 1
## mu[38] 1
## mu[39] 1
## mu[40] 1
## mu[41] 1
## mu[42] 1
## mu[43] 1
## mu[44] 1
## mu[45] 1
## mu[46] 1
## mu[47] 1
## mu[48] 1
## mu[49] 1
## mu[50] 1
## y_pred[1] 1
## y_pred[2] 1
## y_pred[3] 1
## y_pred[4] 1
## y_pred[5] 1
## y_pred[6] 1
## y_pred[7] 1
## y_pred[8] 1
## y_pred[9] 1
## y_pred[10] 1
## y_pred[11] 1
## y_pred[12] 1
## y_pred[13] 1
## y_pred[14] 1
## y_pred[15] 1
## y_pred[16] 1
## y_pred[17] 1
## y_pred[18] 1
## y_pred[19] 1
## y_pred[20] 1
## y_pred[21] 1
## y_pred[22] 1
## y_pred[23] 1
## y_pred[24] 1
## y_pred[25] 1
## y_pred[26] 1
## y_pred[27] 1
## y_pred[28] 1
## y_pred[29] 1
## y_pred[30] 1
## y_pred[31] 1
## y_pred[32] 1
## y_pred[33] 1
## y_pred[34] 1
## y_pred[35] 1
## y_pred[36] 1
## y_pred[37] 1
## y_pred[38] 1
## y_pred[39] 1
## y_pred[40] 1
## y_pred[41] 1
## y_pred[42] 1
## y_pred[43] 1
## y_pred[44] 1
## y_pred[45] 1
## y_pred[46] 1
## y_pred[47] 1
## y_pred[48] 1
## y_pred[49] 1
## y_pred[50] 1
## log_lik[1] 1
## log_lik[2] 1
## log_lik[3] 1
## log_lik[4] 1
## log_lik[5] 1
## log_lik[6] 1
## log_lik[7] 1
## log_lik[8] 1
## log_lik[9] 1
## log_lik[10] 1
## log_lik[11] 1
## log_lik[12] 1
## log_lik[13] 1
## log_lik[14] 1
## log_lik[15] 1
## log_lik[16] 1
## log_lik[17] 1
## log_lik[18] 1
## log_lik[19] 1
## log_lik[20] 1
## log_lik[21] 1
## log_lik[22] 1
## log_lik[23] 1
## log_lik[24] 1
## log_lik[25] 1
## log_lik[26] 1
## log_lik[27] 1
## log_lik[28] 1
## log_lik[29] 1
## log_lik[30] 1
## log_lik[31] 1
## log_lik[32] 1
## log_lik[33] 1
## log_lik[34] 1
## log_lik[35] 1
## log_lik[36] 1
## log_lik[37] 1
## log_lik[38] 1
## log_lik[39] 1
## log_lik[40] 1
## log_lik[41] 1
## log_lik[42] 1
## log_lik[43] 1
## log_lik[44] 1
## log_lik[45] 1
## log_lik[46] 1
## log_lik[47] 1
## log_lik[48] 1
## log_lik[49] 1
## log_lik[50] 1
## lp__ 1
##
## Samples were drawn using NUTS(diag_e) at Tue Nov 22 15:05:39 2016.
## For each parameter, n_eff is a crude measure of effective sample size,
## and Rhat is the potential scale reduction factor on split chains (at
## convergence, Rhat=1).Check the convergence visually.
ggmcmc(ggs(fit_ex1, inc_warmup = TRUE), plot = 'traceplot',
file = 'output/d3-ex1-traceplots.pdf')## Plotting traceplots## Time taken to generate the report: 37 seconds.Plot the effects.
plot(fit_ex1, pars = c('b1', 'b2', 'b3'))## ci_level: 0.8 (80% intervals)## outer_level: 0.95 (95% intervals)
Alternatively, with rethinking loaded,
plot(precis(fit_ex1))## 150 vector or matrix parameters omitted in display. Use depth=2 to show them.
// d3-ex1b.stan
data {
int N;
vector<lower=0, upper=1>[N] Y;
vector<lower=0, upper=1>[N] A;
vector<lower=0, upper=1>[N] Score;
}
parameters {
vector[3] b;
real<lower=0> sigma;
}
transformed parameters {
vector[N] mu;
mu = b[1] + b[2]*A + b[3]*Score;
}
model {
Y ~ normal(mu, sigma);
b ~ normal(0, 10);
sigma ~ cauchy(0, 20);
}
generated quantities {
real y_pred[N];
real error[N];
real log_lik[N];
for (n in 1:N) {
y_pred[n] = normal_rng(mu[n], sigma);
error[n] = Y[n] - mu[n];
log_lik[n] = normal_lpdf(Y[n] | mu[n], sigma);
}
}stan_ex1b <- stan_model('stan-models/d3-ex1b.stan')Sample.
fit_ex1b <- sampling(stan_ex1b, data = myd, seed = 9999,
chains = 4, iter = 3000, warmup = 1500)print(fit_ex1b)## Inference for Stan model: d3-ex1b.
## 4 chains, each with iter=3000; warmup=1500; thin=1;
## post-warmup draws per chain=1500, total post-warmup draws=6000.
##
## mean se_mean sd 2.5% 25% 50% 75% 97.5% n_eff
## b[1] 0.12 0.00 0.03 0.06 0.10 0.12 0.15 0.19 1781
## b[2] -0.14 0.00 0.01 -0.17 -0.15 -0.14 -0.13 -0.12 3649
## b[3] 0.32 0.00 0.05 0.22 0.29 0.32 0.36 0.42 1819
## sigma 0.05 0.00 0.01 0.04 0.05 0.05 0.05 0.06 3312
## mu[1] 0.24 0.00 0.02 0.21 0.23 0.24 0.25 0.27 2183
## mu[2] 0.21 0.00 0.01 0.19 0.21 0.21 0.22 0.24 3644
## mu[3] 0.33 0.00 0.01 0.31 0.32 0.33 0.33 0.34 5215
## mu[4] 0.12 0.00 0.01 0.09 0.11 0.12 0.13 0.15 3501
## mu[5] 0.24 0.00 0.01 0.21 0.23 0.24 0.25 0.26 2843
## mu[6] 0.34 0.00 0.01 0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 5173
## mu[7] 0.30 0.00 0.01 0.29 0.30 0.30 0.31 0.32 4241
## mu[8] 0.22 0.00 0.01 0.19 0.21 0.22 0.23 0.24 3548
## mu[9] 0.36 0.00 0.01 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 4478
## mu[10] 0.36 0.00 0.01 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 4550
## mu[11] 0.21 0.00 0.01 0.19 0.20 0.21 0.22 0.23 3853
## mu[12] 0.35 0.00 0.01 0.33 0.34 0.35 0.35 0.37 5011
## mu[13] 0.17 0.00 0.01 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 4752
## mu[14] 0.30 0.00 0.01 0.29 0.30 0.30 0.31 0.32 4241
## mu[15] 0.30 0.00 0.01 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 4075
## mu[16] 0.14 0.00 0.01 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 4086
## mu[17] 0.31 0.00 0.01 0.29 0.30 0.31 0.31 0.33 4500
## mu[18] 0.26 0.00 0.01 0.23 0.25 0.26 0.27 0.28 2371
## mu[19] 0.42 0.00 0.02 0.39 0.41 0.42 0.44 0.46 2942
## mu[20] 0.23 0.00 0.01 0.20 0.22 0.23 0.24 0.26 3125
## mu[21] 0.12 0.00 0.01 0.09 0.11 0.12 0.13 0.15 3501
## mu[22] 0.15 0.00 0.01 0.13 0.15 0.15 0.16 0.18 4489
## mu[23] 0.15 0.00 0.01 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 4405
## mu[24] 0.21 0.00 0.01 0.19 0.20 0.21 0.22 0.24 3746
## mu[25] 0.17 0.00 0.01 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 4741
## mu[26] 0.19 0.00 0.01 0.17 0.18 0.19 0.19 0.21 4609
## mu[27] 0.32 0.00 0.01 0.30 0.31 0.32 0.32 0.33 4915
## mu[28] 0.32 0.00 0.01 0.30 0.31 0.32 0.32 0.33 4915
## mu[29] 0.38 0.00 0.01 0.36 0.38 0.38 0.39 0.41 3604
## mu[30] 0.31 0.00 0.01 0.29 0.30 0.31 0.31 0.33 4413
## mu[31] 0.25 0.00 0.02 0.22 0.24 0.25 0.26 0.28 2255
## mu[32] 0.10 0.00 0.02 0.07 0.09 0.10 0.11 0.13 3134
## mu[33] 0.20 0.00 0.01 0.18 0.20 0.20 0.21 0.23 4020
## mu[34] 0.18 0.00 0.01 0.16 0.17 0.18 0.19 0.20 4718
## mu[35] 0.33 0.00 0.01 0.31 0.32 0.33 0.33 0.35 5236
## mu[36] 0.34 0.00 0.01 0.32 0.33 0.34 0.34 0.35 5225
## mu[37] 0.15 0.00 0.01 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 4361
## mu[38] 0.30 0.00 0.01 0.28 0.30 0.30 0.31 0.32 4157
## mu[39] 0.27 0.00 0.01 0.24 0.26 0.27 0.28 0.29 2550
## mu[40] 0.27 0.00 0.01 0.24 0.26 0.27 0.28 0.29 2520
## mu[41] 0.33 0.00 0.01 0.31 0.33 0.33 0.34 0.35 5251
## mu[42] 0.34 0.00 0.01 0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 5173
## mu[43] 0.32 0.00 0.01 0.30 0.32 0.32 0.33 0.34 5110
## mu[44] 0.36 0.00 0.01 0.34 0.36 0.36 0.37 0.39 4340
## mu[45] 0.42 0.00 0.02 0.38 0.41 0.42 0.43 0.45 2994
## mu[46] 0.29 0.00 0.01 0.27 0.29 0.29 0.30 0.31 3772
## mu[47] 0.21 0.00 0.02 0.17 0.19 0.21 0.22 0.25 2065
## mu[48] 0.37 0.00 0.01 0.34 0.36 0.37 0.37 0.39 4206
## mu[49] 0.28 0.00 0.01 0.26 0.28 0.28 0.29 0.31 2992
## mu[50] 0.14 0.00 0.01 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 4086
## y_pred[1] 0.24 0.00 0.05 0.13 0.20 0.24 0.27 0.35 5282
## y_pred[2] 0.21 0.00 0.05 0.11 0.18 0.21 0.25 0.32 6000
## y_pred[3] 0.33 0.00 0.05 0.22 0.29 0.33 0.36 0.43 6000
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## y_pred[29] 1
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## error[1] 1
## error[2] 1
## error[3] 1
## error[4] 1
## error[5] 1
## error[6] 1
## error[7] 1
## error[8] 1
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## error[32] 1
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## error[34] 1
## error[35] 1
## error[36] 1
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## error[39] 1
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## error[41] 1
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## error[44] 1
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## error[46] 1
## error[47] 1
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## error[49] 1
## error[50] 1
## log_lik[1] 1
## log_lik[2] 1
## log_lik[3] 1
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## log_lik[5] 1
## log_lik[6] 1
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## log_lik[43] 1
## log_lik[44] 1
## log_lik[45] 1
## log_lik[46] 1
## log_lik[47] 1
## log_lik[48] 1
## log_lik[49] 1
## log_lik[50] 1
## lp__ 1
##
## Samples were drawn using NUTS(diag_e) at Tue Nov 22 15:06:25 2016.
## For each parameter, n_eff is a crude measure of effective sample size,
## and Rhat is the potential scale reduction factor on split chains (at
## convergence, Rhat=1).plot(fit_ex1b, pars = c('b', 'sigma'))## ci_level: 0.8 (80% intervals)## outer_level: 0.95 (95% intervals)
Alternatively,
plot(precis(fit_ex1b, depth = 2, pars = c('b', 'sigma')))
Interpret the result.
mcsample <- rstan::extract(fit_ex1b)
# 10h, 50th, and 90th percentiles of predicted values
d_quant <- data.frame(p10 = apply(mcsample$y_pred, 2, quantile, .1),
p50 = apply(mcsample$y_pred, 2, quantile, .5),
p90 = apply(mcsample$y_pred, 2, quantile, .9))
d1 <- bind_cols(d1, d_quant)
p1 <- ggplot(d1, aes(x = Score, shape = A)) +
geom_ribbon(aes(ymin = p10, ymax = p90), fill = 'gray') +
geom_line(aes(y = p50, color = A)) +
geom_point(aes(y = Y)) +
ylab('Y (attendance rate)')
print(p1)
Predicted vs. Observed.
p2 <- ggplot(d1, aes(x = Y, y = p50, ymin = p10, ymax = p90,
shape = A, color = A)) +
geom_abline(intercept = 0, slope = 1, linetype = 'dashed') +
geom_pointrange() +
coord_fixed() +
labs(x = 'Observed outcome', y = 'Predicted outcome')
print(p2)
Q2. Binomial Model
url <- getURL('https://raw.githubusercontent.com/MatsuuraKentaro/RStanBook/master/chap05/input/data-attendance-2.txt')
d2 <- read.csv(text = url)
glimpse(d2)## Observations: 50
## Variables: 5
## $ PersonID <int> 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16...
## $ A <int> 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0,...
## $ Score <int> 69, 145, 125, 86, 158, 133, 111, 147, 146, 145, 141, ...
## $ M <int> 43, 56, 32, 45, 33, 61, 49, 76, 78, 64, 34, 44, 53, 4...
## $ Y <int> 38, 40, 24, 33, 23, 60, 35, 47, 63, 57, 18, 30, 33, 2...First, try to understand the data by some visualiztion.
Then, here is a statistical model: \[Y_n \sim \mbox{Binomial}(M_n, \theta_n),\] \[\theta_n = \mathrm{logit}^{-1}(\beta_1 + \beta_2 A_n + \beta_3 Score_n),\] \[\beta_1 \sim \mbox{Normal}(0, 10),\] \[\beta_2 \sim \mbox{Normal}(0, 10),\] \[\beta_3 \sim \mbox{Normal}(0, 10),\] where \(n = 1, 2, \dots, N\).
A Stan model.
// d3-ex2.stan
data {
int<lower=0> N;
int<lower=0> M[N];
int<lower=0> Y[N];
int<lower=0, upper=1> A[N];
real<lower=0, upper=1> S[N];
}
parameters {
vector[3] b;
}
transformed parameters {
vector<lower=0, upper=1>[N] theta;
for (n in 1:N)
theta[n] = inv_logit(b[1] + b[2]*A[n] + b[3]*S[n]);
}
model {
Y ~ binomial(M, theta);
b ~ normal(0, 10);
}
generated quantities {
int<lower=0> y_pred[N];
vector[N] log_lik;
for (n in 1:N) {
y_pred[n] = binomial_rng(M[n], theta[n]);
log_lik[n] = binomial_lpmf(Y[n] | M[n], theta[n]);
}
}Compile.
stan_ex2 <- stan_model('stan-models/d3-ex2.stan')Sample.
myd <- list(N = nrow(d2), M = d2$M, Y = d2$Y, A = d2$A, S = d2$Score/200)
fit_ex2 <- sampling(stan_ex2, data = myd, seed = 98765,
chains = 4, iter = 3000, warmup = 1500)Look at the result.
print(fit_ex2)## Inference for Stan model: d3-ex2.
## 4 chains, each with iter=3000; warmup=1500; thin=1;
## post-warmup draws per chain=1500, total post-warmup draws=6000.
##
## mean se_mean sd 2.5% 25% 50% 75%
## b[1] 0.10 0.01 0.23 -0.35 -0.06 0.10 0.26
## b[2] -0.62 0.00 0.09 -0.80 -0.68 -0.62 -0.56
## b[3] 1.89 0.01 0.37 1.16 1.64 1.89 2.15
## theta[1] 0.68 0.00 0.02 0.63 0.66 0.68 0.70
## theta[2] 0.70 0.00 0.02 0.67 0.69 0.70 0.71
## theta[3] 0.78 0.00 0.01 0.76 0.77 0.78 0.79
## theta[4] 0.57 0.00 0.02 0.53 0.56 0.57 0.59
## theta[5] 0.73 0.00 0.02 0.69 0.71 0.73 0.74
## theta[6] 0.79 0.00 0.01 0.77 0.79 0.79 0.80
## theta[7] 0.76 0.00 0.01 0.73 0.75 0.76 0.77
## theta[8] 0.70 0.00 0.02 0.67 0.69 0.70 0.72
## theta[9] 0.81 0.00 0.01 0.79 0.81 0.81 0.82
## theta[10] 0.81 0.00 0.01 0.79 0.80 0.81 0.82
## theta[11] 0.69 0.00 0.02 0.66 0.68 0.69 0.70
## theta[12] 0.80 0.00 0.01 0.78 0.79 0.80 0.81
## theta[13] 0.64 0.00 0.01 0.62 0.63 0.64 0.65
## theta[14] 0.76 0.00 0.01 0.73 0.75 0.76 0.77
## theta[15] 0.76 0.00 0.01 0.73 0.75 0.76 0.76
## theta[16] 0.60 0.00 0.02 0.57 0.59 0.60 0.61
## theta[17] 0.76 0.00 0.01 0.74 0.76 0.76 0.77
## theta[18] 0.71 0.00 0.02 0.66 0.69 0.71 0.72
## theta[19] 0.86 0.00 0.02 0.83 0.85 0.86 0.87
## theta[20] 0.72 0.00 0.02 0.69 0.71 0.72 0.73
## theta[21] 0.57 0.00 0.02 0.53 0.56 0.57 0.59
## theta[22] 0.62 0.00 0.02 0.59 0.61 0.62 0.63
## theta[23] 0.62 0.00 0.02 0.59 0.61 0.62 0.63
## theta[24] 0.70 0.00 0.02 0.67 0.69 0.70 0.71
## theta[25] 0.64 0.00 0.01 0.61 0.63 0.64 0.65
## theta[26] 0.67 0.00 0.01 0.64 0.66 0.67 0.68
## theta[27] 0.77 0.00 0.01 0.75 0.76 0.77 0.78
## theta[28] 0.77 0.00 0.01 0.75 0.76 0.77 0.78
## theta[29] 0.83 0.00 0.01 0.81 0.83 0.83 0.84
## theta[30] 0.76 0.00 0.01 0.74 0.75 0.76 0.77
## theta[31] 0.74 0.00 0.02 0.70 0.73 0.74 0.75
## theta[32] 0.54 0.00 0.03 0.49 0.53 0.54 0.56
## theta[33] 0.69 0.00 0.01 0.66 0.68 0.69 0.70
## theta[34] 0.66 0.00 0.01 0.63 0.65 0.66 0.67
## theta[35] 0.78 0.00 0.01 0.76 0.78 0.78 0.79
## theta[36] 0.79 0.00 0.01 0.77 0.78 0.79 0.80
## theta[37] 0.62 0.00 0.02 0.58 0.60 0.62 0.63
## theta[38] 0.76 0.00 0.01 0.73 0.75 0.76 0.77
## theta[39] 0.72 0.00 0.02 0.68 0.71 0.72 0.73
## theta[40] 0.72 0.00 0.02 0.68 0.70 0.72 0.73
## theta[41] 0.79 0.00 0.01 0.77 0.78 0.79 0.80
## theta[42] 0.79 0.00 0.01 0.77 0.79 0.79 0.80
## theta[43] 0.78 0.00 0.01 0.75 0.77 0.78 0.79
## theta[44] 0.82 0.00 0.01 0.79 0.81 0.82 0.83
## theta[45] 0.86 0.00 0.02 0.83 0.85 0.86 0.87
## theta[46] 0.75 0.00 0.01 0.72 0.74 0.75 0.76
## theta[47] 0.64 0.00 0.03 0.58 0.62 0.64 0.66
## theta[48] 0.82 0.00 0.01 0.79 0.81 0.82 0.83
## theta[49] 0.74 0.00 0.01 0.71 0.73 0.74 0.75
## theta[50] 0.60 0.00 0.02 0.57 0.59 0.60 0.61
## y_pred[1] 29.15 0.05 3.25 23.00 27.00 29.00 31.00
## y_pred[2] 39.25 0.05 3.55 32.00 37.00 39.00 42.00
## y_pred[3] 25.02 0.03 2.37 20.00 23.00 25.00 27.00
## y_pred[4] 25.74 0.05 3.41 19.00 23.00 26.00 28.00
## y_pred[5] 23.94 0.03 2.62 19.00 22.00 24.00 26.00
## y_pred[6] 48.48 0.04 3.25 42.00 46.00 49.00 51.00
## y_pred[7] 37.24 0.04 3.05 31.00 35.00 37.00 39.00
## y_pred[8] 53.53 0.05 4.15 45.00 51.00 54.00 56.00
## y_pred[9] 63.50 0.05 3.57 56.00 61.00 64.00 66.00
## y_pred[10] 51.97 0.04 3.25 45.00 50.00 52.00 54.00
## y_pred[11] 23.57 0.04 2.75 18.00 22.00 24.00 26.00
## y_pred[12] 35.28 0.03 2.70 30.00 34.00 35.00 37.00
## y_pred[13] 34.13 0.05 3.58 27.00 32.00 34.00 37.00
## y_pred[14] 30.35 0.04 2.78 25.00 29.00 30.00 32.00
## y_pred[15] 42.19 0.04 3.31 36.00 40.00 42.00 44.00
## y_pred[16] 35.48 0.05 3.91 28.00 33.00 36.00 38.00
## y_pred[17] 29.08 0.03 2.63 24.00 27.00 29.00 31.00
## y_pred[18] 31.67 0.04 3.19 25.00 30.00 32.00 34.00
## y_pred[19] 38.84 0.03 2.43 34.00 37.00 39.00 41.00
## y_pred[20] 55.63 0.06 4.13 47.00 53.00 56.00 58.00
## y_pred[21] 40.05 0.06 4.37 31.00 37.00 40.00 43.00
## y_pred[22] 47.96 0.06 4.44 39.00 45.00 48.00 51.00
## y_pred[23] 38.86 0.05 4.00 31.00 36.00 39.00 42.00
## y_pred[24] 47.33 0.05 3.89 39.00 45.00 47.00 50.00
## y_pred[25] 32.08 0.05 3.44 25.00 30.00 32.00 34.00
## y_pred[26] 34.03 0.05 3.38 27.00 32.00 34.00 36.00
## y_pred[27] 22.43 0.03 2.28 18.00 21.00 23.00 24.00
## y_pred[28] 28.54 0.03 2.57 23.00 27.00 29.00 30.00
## y_pred[29] 14.99 0.02 1.62 12.00 14.00 15.00 16.00
## y_pred[30] 37.41 0.04 3.02 31.00 35.00 38.00 39.00
## y_pred[31] 55.34 0.06 4.11 47.00 53.00 55.00 58.00
## y_pred[32] 6.52 0.02 1.76 3.00 5.00 6.00 8.00
## y_pred[33] 15.85 0.03 2.24 11.00 14.00 16.00 17.00
## y_pred[34] 24.31 0.04 2.95 18.00 22.00 24.00 26.00
## y_pred[35] 46.25 0.04 3.26 40.00 44.00 46.00 49.00
## y_pred[36] 43.48 0.04 3.08 37.00 41.00 44.00 46.00
## y_pred[37] 54.24 0.07 4.78 45.00 51.00 54.00 58.00
## y_pred[38] 35.62 0.04 3.00 29.00 34.00 36.00 38.00
## y_pred[39] 15.82 0.03 2.13 12.00 14.00 16.00 17.00
## y_pred[40] 29.42 0.04 2.93 24.00 27.00 30.00 31.00
## y_pred[41] 44.91 0.04 3.15 39.00 43.00 45.00 47.00
## y_pred[42] 25.47 0.03 2.33 21.00 24.00 26.00 27.00
## y_pred[43] 41.20 0.04 3.14 35.00 39.00 41.00 43.00
## y_pred[44] 25.36 0.03 2.21 21.00 24.00 25.00 27.00
## y_pred[45] 19.75 0.02 1.72 16.00 19.00 20.00 21.00
## y_pred[46] 38.13 0.04 3.15 32.00 36.00 38.00 40.00
## y_pred[47] 14.16 0.03 2.36 9.00 13.00 14.00 16.00
## y_pred[48] 31.21 0.03 2.39 26.00 30.00 31.00 33.00
## y_pred[49] 16.95 0.03 2.12 13.00 16.00 17.00 18.00
## y_pred[50] 40.38 0.06 4.18 32.00 38.00 40.00 43.00
## log_lik[1] -6.66 0.02 1.01 -8.80 -7.33 -6.61 -5.95
## log_lik[2] -2.20 0.00 0.08 -2.42 -2.23 -2.17 -2.15
## log_lik[3] -1.93 0.00 0.07 -2.11 -1.97 -1.92 -1.88
## log_lik[4] -4.57 0.01 0.66 -5.98 -4.98 -4.54 -4.09
## log_lik[5] -1.99 0.00 0.09 -2.24 -2.04 -1.97 -1.92
## log_lik[6] -11.26 0.01 0.82 -12.94 -11.80 -11.24 -10.69
## log_lik[7] -2.36 0.00 0.15 -2.72 -2.44 -2.34 -2.24
## log_lik[8] -3.70 0.01 0.51 -4.84 -4.03 -3.66 -3.33
## log_lik[9] -2.22 0.00 0.07 -2.42 -2.24 -2.20 -2.18
## log_lik[10] -3.32 0.01 0.41 -4.22 -3.58 -3.29 -3.02
## log_lik[11] -3.99 0.01 0.40 -4.81 -4.25 -3.98 -3.71
## log_lik[12] -3.82 0.01 0.39 -4.63 -4.07 -3.79 -3.55
## log_lik[13] -2.26 0.00 0.08 -2.47 -2.30 -2.24 -2.20
## log_lik[14] -2.37 0.00 0.16 -2.74 -2.47 -2.35 -2.25
## log_lik[15] -2.71 0.00 0.26 -3.27 -2.87 -2.68 -2.53
## log_lik[16] -2.35 0.00 0.12 -2.68 -2.40 -2.32 -2.26
## log_lik[17] -2.26 0.00 0.14 -2.58 -2.35 -2.25 -2.16
## log_lik[18] -2.86 0.01 0.36 -3.68 -3.08 -2.82 -2.60
## log_lik[19] -3.43 0.01 0.58 -4.73 -3.78 -3.37 -3.01
## log_lik[20] -3.38 0.01 0.50 -4.53 -3.68 -3.32 -3.01
## log_lik[21] -4.79 0.02 0.83 -6.56 -5.32 -4.70 -4.20
## log_lik[22] -2.44 0.00 0.09 -2.69 -2.47 -2.40 -2.37
## log_lik[23] -2.34 0.00 0.08 -2.57 -2.37 -2.31 -2.29
## log_lik[24] -2.52 0.00 0.18 -2.95 -2.61 -2.48 -2.38
## log_lik[25] -3.17 0.01 0.31 -3.83 -3.37 -3.15 -2.95
## log_lik[26] -2.16 0.00 0.03 -2.25 -2.17 -2.15 -2.14
## log_lik[27] -2.01 0.00 0.10 -2.22 -2.06 -1.99 -1.94
## log_lik[28] -2.45 0.00 0.17 -2.83 -2.56 -2.43 -2.32
## log_lik[29] -1.99 0.00 0.20 -2.42 -2.12 -1.98 -1.85
## log_lik[30] -2.36 0.00 0.18 -2.76 -2.47 -2.34 -2.23
## log_lik[31] -2.53 0.01 0.29 -3.27 -2.67 -2.45 -2.31
## log_lik[32] -5.01 0.01 0.48 -5.99 -5.32 -5.00 -4.67
## log_lik[33] -2.16 0.00 0.16 -2.49 -2.25 -2.14 -2.05
## log_lik[34] -2.76 0.00 0.23 -3.26 -2.91 -2.75 -2.60
## log_lik[35] -4.60 0.01 0.49 -5.63 -4.92 -4.57 -4.26
## log_lik[36] -5.46 0.01 0.52 -6.55 -5.80 -5.44 -5.09
## log_lik[37] -2.50 0.00 0.09 -2.76 -2.53 -2.47 -2.44
## log_lik[38] -3.79 0.01 0.39 -4.62 -4.04 -3.78 -3.52
## log_lik[39] -2.13 0.00 0.19 -2.55 -2.25 -2.12 -2.00
## log_lik[40] -2.75 0.01 0.30 -3.42 -2.93 -2.71 -2.53
## log_lik[41] -2.10 0.00 0.08 -2.30 -2.13 -2.08 -2.04
## log_lik[42] -1.77 0.00 0.04 -1.89 -1.79 -1.76 -1.74
## log_lik[43] -3.53 0.01 0.35 -4.27 -3.75 -3.50 -3.28
## log_lik[44] -1.98 0.00 0.11 -2.24 -2.04 -1.96 -1.89
## log_lik[45] -2.16 0.01 0.30 -2.83 -2.35 -2.13 -1.95
## log_lik[46] -3.02 0.01 0.30 -3.68 -3.20 -2.99 -2.80
## log_lik[47] -3.41 0.01 0.59 -4.69 -3.78 -3.36 -2.99
## log_lik[48] -2.30 0.00 0.19 -2.72 -2.42 -2.28 -2.17
## log_lik[49] -2.63 0.00 0.23 -3.12 -2.78 -2.62 -2.47
## log_lik[50] -2.56 0.00 0.21 -3.08 -2.67 -2.51 -2.40
## lp__ -1389.37 0.03 1.20 -1392.41 -1389.93 -1389.07 -1388.48
## 97.5% n_eff Rhat
## b[1] 0.55 1605 1
## b[2] -0.43 2306 1
## b[3] 2.59 1566 1
## theta[1] 0.73 1785 1
## theta[2] 0.73 2615 1
## theta[3] 0.80 3483 1
## theta[4] 0.61 2036 1
## theta[5] 0.76 2205 1
## theta[6] 0.82 3321 1
## theta[7] 0.78 2988 1
## theta[8] 0.74 2534 1
## theta[9] 0.84 2806 1
## theta[10] 0.84 2843 1
## theta[11] 0.72 2797 1
## theta[12] 0.82 3168 1
## theta[13] 0.67 3477 1
## theta[14] 0.78 2988 1
## theta[15] 0.78 2879 1
## theta[16] 0.64 2556 1
## theta[17] 0.79 3148 1
## theta[18] 0.74 1936 1
## theta[19] 0.89 1988 1
## theta[20] 0.76 2252 1
## theta[21] 0.61 2036 1
## theta[22] 0.65 2998 1
## theta[23] 0.65 2890 1
## theta[24] 0.73 2702 1
## theta[25] 0.67 3444 1
## theta[26] 0.69 3440 1
## theta[27] 0.79 3390 1
## theta[28] 0.79 3390 1
## theta[29] 0.86 2326 1
## theta[30] 0.79 3096 1
## theta[31] 0.78 2071 1
## theta[32] 0.60 1840 1
## theta[33] 0.71 2949 1
## theta[34] 0.68 3537 1
## theta[35] 0.81 3479 1
## theta[36] 0.81 3385 1
## theta[37] 0.65 2837 1
## theta[38] 0.78 2935 1
## theta[39] 0.75 2074 1
## theta[40] 0.75 2051 1
## theta[41] 0.81 3436 1
## theta[42] 0.82 3321 1
## theta[43] 0.80 3461 1
## theta[44] 0.84 2700 1
## theta[45] 0.89 2015 1
## theta[46] 0.77 2663 1
## theta[47] 0.70 1687 1
## theta[48] 0.84 2629 1
## theta[49] 0.77 2387 1
## theta[50] 0.64 2556 1
## y_pred[1] 35.00 4990 1
## y_pred[2] 46.00 5672 1
## y_pred[3] 29.00 5533 1
## y_pred[4] 32.00 5503 1
## y_pred[5] 29.00 5869 1
## y_pred[6] 55.00 6000 1
## y_pred[7] 43.00 5267 1
## y_pred[8] 61.00 5708 1
## y_pred[9] 70.00 5163 1
## y_pred[10] 58.00 5515 1
## y_pred[11] 29.00 6000 1
## y_pred[12] 40.00 6000 1
## y_pred[13] 41.00 6000 1
## y_pred[14] 36.00 6000 1
## y_pred[15] 48.00 5776 1
## y_pred[16] 43.00 5342 1
## y_pred[17] 34.00 6000 1
## y_pred[18] 38.00 5474 1
## y_pred[19] 43.00 4829 1
## y_pred[20] 63.00 5340 1
## y_pred[21] 49.00 5073 1
## y_pred[22] 56.00 5439 1
## y_pred[23] 47.00 5753 1
## y_pred[24] 55.00 5821 1
## y_pred[25] 39.00 5652 1
## y_pred[26] 40.02 5621 1
## y_pred[27] 27.00 5940 1
## y_pred[28] 33.00 5881 1
## y_pred[29] 18.00 6000 1
## y_pred[30] 43.00 6000 1
## y_pred[31] 63.00 5301 1
## y_pred[32] 10.00 5828 1
## y_pred[33] 20.00 6000 1
## y_pred[34] 30.00 6000 1
## y_pred[35] 52.00 6000 1
## y_pred[36] 49.00 6000 1
## y_pred[37] 63.00 4927 1
## y_pred[38] 41.00 5691 1
## y_pred[39] 20.00 5310 1
## y_pred[40] 35.00 5604 1
## y_pred[41] 51.00 6000 1
## y_pred[42] 30.00 5708 1
## y_pred[43] 47.00 5873 1
## y_pred[44] 29.00 5618 1
## y_pred[45] 23.00 5324 1
## y_pred[46] 44.00 5547 1
## y_pred[47] 19.00 5098 1
## y_pred[48] 36.00 6000 1
## y_pred[49] 21.00 5469 1
## y_pred[50] 48.00 5394 1
## log_lik[1] -4.87 1787 1
## log_lik[2] -2.14 3054 1
## log_lik[3] -1.83 3669 1
## log_lik[4] -3.42 2064 1
## log_lik[5] -1.90 2265 1
## log_lik[6] -9.73 3314 1
## log_lik[7] -2.13 3180 1
## log_lik[8] -2.83 2510 1
## log_lik[9] -2.17 3180 1
## log_lik[10] -2.62 2819 1
## log_lik[11] -3.27 2773 1
## log_lik[12] -3.11 3216 1
## log_lik[13] -2.19 3566 1
## log_lik[14] -2.11 3112 1
## log_lik[15] -2.27 2808 1
## log_lik[16] -2.24 2679 1
## log_lik[17] -2.04 3315 1
## log_lik[18] -2.28 1960 1
## log_lik[19] -2.46 1845 1
## log_lik[20] -2.58 2244 1
## log_lik[21] -3.38 1989 1
## log_lik[22] -2.36 3201 1
## log_lik[23] -2.28 3152 1
## log_lik[24] -2.29 2672 1
## log_lik[25] -2.63 3455 1
## log_lik[26] -2.14 4062 1
## log_lik[27] -1.86 3534 1
## log_lik[28] -2.16 3495 1
## log_lik[29] -1.64 2314 1
## log_lik[30] -2.06 2996 1
## log_lik[31] -2.21 2163 1
## log_lik[32] -4.10 1852 1
## log_lik[33] -1.89 2984 1
## log_lik[34] -2.36 3559 1
## log_lik[35] -3.71 3542 1
## log_lik[36] -4.49 3367 1
## log_lik[37] -2.44 3187 1
## log_lik[38] -3.11 3000 1
## log_lik[39] -1.81 2062 1
## log_lik[40] -2.25 2085 1
## log_lik[41] -2.02 3242 1
## log_lik[42] -1.73 3161 1
## log_lik[43] -2.91 3540 1
## log_lik[44] -1.80 2806 1
## log_lik[45] -1.66 1870 1
## log_lik[46] -2.51 2737 1
## log_lik[47] -2.42 1677 1
## log_lik[48] -1.99 2710 1
## log_lik[49] -2.21 2371 1
## log_lik[50] -2.30 2615 1
## lp__ -1387.97 1716 1
##
## Samples were drawn using NUTS(diag_e) at Tue Nov 22 15:06:32 2016.
## For each parameter, n_eff is a crude measure of effective sample size,
## and Rhat is the potential scale reduction factor on split chains (at
## convergence, Rhat=1).(You should check the convergence by traceplots.)
plot(precis(fit_ex2, pars = 'b', depth = 2))
# Or
#plot(fit_ex2, pars = 'b')Plot predicted vs. observed.
mcsample <- rstan::extract(fit_ex2)
d_quant <- data.frame(p5 = apply(mcsample$y_pred, 2, quantile, .05),
p50 = apply(mcsample$y_pred, 2, quantile, .5),
p95 = apply(mcsample$y_pred, 2, quantile, .95))
d2 <- bind_cols(d2, d_quant) %>%
mutate(A = as.factor(A))
p1 <- ggplot(d2, aes(x = Y, y = p50, ymin = p5, ymax = p95,
color = A, shape = A)) +
geom_abline(intercept = 0, slope = 1, linetype = 'dashed') +
geom_pointrange() +
coord_fixed() +
labs(x = 'Observed outcome', y = 'Predicted outcome')
print(p1)
Predicted rate vs. observed rate.
d_quant <- data.frame(rate_p5 = apply(mcsample$theta, 2, quantile, .05),
rate_p50 = apply(mcsample$theta, 2, quantile, .5),
rate_p95 = apply(mcsample$theta, 2, quantile, .95))
d2 <- bind_cols(d2, d_quant) %>%
mutate(rate = Y/M)
p2 <- ggplot(d2, aes(x = rate, y = rate_p50, ymin = rate_p5, ymax = rate_p95,
color = A, shape = A)) +
geom_abline(intercept = 0, slope = 1, linetype = 'dashed') +
geom_pointrange() +
coord_fixed() +
labs(x = 'Observed attendance rate', y = 'Predicted attendance rate')
print(p2)
Q3. Bernoulli Model
url <- getURL('https://raw.githubusercontent.com/MatsuuraKentaro/RStanBook/master/chap05/input/data-attendance-3.txt')
d3 <- read.csv(text = url)
glimpse(d3)## Observations: 2,396
## Variables: 5
## $ PersonID <int> 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,...
## $ A <int> 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,...
## $ Score <int> 69, 69, 69, 69, 69, 69, 69, 69, 69, 69, 69, 69, 69, 6...
## $ Weather <fctr> B, A, C, A, B, B, C, B, A, A, A, C, A, A, A, A, A, B...
## $ Y <int> 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1,...Before building a model, try to understand the data. Let’s change the labels of Weather.
d3 <- d3 %>%
mutate(Weather = factor(Weather, labels = c('clear', 'cloudy', 'rainy')))A statistical model. \[Y_i \sim \mbox{Bernoulli}(theta_i),\] \[theta_i = \mathrm{logit}^{-1}(\beta_1 + \beta_2 A_i + \beta_3 Score_i + \beta_4 Weather_i),\] \[beta_k \sim \mbox{Normal}(0, 10),\] where \(i = 1, 2, \dots, I\) and \(k = 1, 2, 3, 4\).
A Stan model.
// d3-ex3.stan
data {
int<lower=0> I;
int<lower=0, upper=1> Y[I];
int<lower=0, upper=1> A[I];
real<lower=0, upper=1> S[I];
real<lower=0, upper=1> W[I];
}
parameters {
vector[4] b;
}
transformed parameters {
vector<lower=0, upper=1>[I] theta;
for (i in 1:I)
theta[i] = inv_logit(b[1] + b[2]*A[i] + b[3]*S[i] + b[4]*W[i]);
}
model {
Y ~ bernoulli(theta);
b ~ normal(0, 10);
}
generated quantities {
vector[I] log_lik;
for (i in 1:I)
log_lik[i] = bernoulli_lpmf(Y[i] | theta[i]);
}Compile.
stan_ex3 <- stan_model('stan-models/d3-ex3.stan')Sample after converting the Weather variable, which is originally categorical, into a numerical values.
conv <- c(0, 0.2, 1)
names(conv) <- c('clear', 'cloudy', 'rainy')
myd <- list(I = nrow(d3), Y = d3$Y, A = d3$A, S = d3$Score/200, W = conv[d3$Weather])
fit_ex3 <- sampling(stan_ex3, data = myd, seed = 13579,
chains = 4, iter = 3000, warmup = 1500)Look at the result.
print(fit_ex3)## Inference for Stan model: d3-ex3.
## 4 chains, each with iter=3000; warmup=1500; thin=1;
## post-warmup draws per chain=1500, total post-warmup draws=6000.
##
## mean se_mean sd 2.5% 25% 50% 75%
## b[1] 0.16 0.00 0.23 -0.30 0.01 0.16 0.32
## b[2] -0.62 0.00 0.09 -0.80 -0.68 -0.62 -0.56
## b[3] 1.97 0.01 0.37 1.25 1.73 1.96 2.21
## b[4] -0.46 0.00 0.12 -0.70 -0.54 -0.46 -0.38
## theta[1] 0.68 0.00 0.02 0.63 0.66 0.68 0.70
## theta[2] 0.70 0.00 0.02 0.65 0.68 0.70 0.72
## theta[3] 0.59 0.00 0.04 0.52 0.57 0.59 0.62
## theta[4] 0.70 0.00 0.02 0.65 0.68 0.70 0.72
## theta[5] 0.68 0.00 0.02 0.63 0.66 0.68 0.70
## theta[6] 0.68 0.00 0.02 0.63 0.66 0.68 0.70
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## log_lik[2318] -0.24 3273 1
## log_lik[2319] -0.24 3273 1
## log_lik[2320] -1.24 3309 1
## log_lik[2321] -0.24 3273 1
## log_lik[2322] -0.34 3793 1
## log_lik[2323] -0.24 3273 1
## log_lik[2324] -0.24 3273 1
## log_lik[2325] -0.26 3320 1
## log_lik[2326] -0.24 3273 1
## log_lik[2327] -0.34 3793 1
## log_lik[2328] -0.26 3320 1
## log_lik[2329] -0.24 3273 1
## log_lik[2330] -0.84 3910 1
## log_lik[2331] -0.89 3857 1
## log_lik[2332] -0.41 3851 1
## log_lik[2333] -0.41 3851 1
## log_lik[2334] -0.89 3857 1
## log_lik[2335] -0.45 3911 1
## log_lik[2336] -0.45 3911 1
## log_lik[2337] -0.61 3852 1
## log_lik[2338] -0.84 3910 1
## log_lik[2339] -0.45 3911 1
## log_lik[2340] -0.61 3852 1
## log_lik[2341] -0.41 3851 1
## log_lik[2342] -0.41 3851 1
## log_lik[2343] -0.41 3851 1
## log_lik[2344] -0.89 3857 1
## log_lik[2345] -0.45 3911 1
## log_lik[2346] -0.55 3865 1
## log_lik[2347] -0.41 3851 1
## log_lik[2348] -0.89 3857 1
## log_lik[2349] -0.41 3851 1
## log_lik[2350] -0.89 3857 1
## log_lik[2351] -0.45 3911 1
## log_lik[2352] -0.41 3851 1
## log_lik[2353] -0.84 3910 1
## log_lik[2354] -0.89 3857 1
## log_lik[2355] -0.84 3910 1
## log_lik[2356] -0.84 3910 1
## log_lik[2357] -0.41 3851 1
## log_lik[2358] -0.89 3857 1
## log_lik[2359] -0.41 3851 1
## log_lik[2360] -0.41 3851 1
## log_lik[2361] -0.84 3910 1
## log_lik[2362] -0.84 3910 1
## log_lik[2363] -0.41 3851 1
## log_lik[2364] -0.55 3865 1
## log_lik[2365] -0.89 3857 1
## log_lik[2366] -0.45 3911 1
## log_lik[2367] -0.89 3857 1
## log_lik[2368] -0.41 3851 1
## log_lik[2369] -0.45 3911 1
## log_lik[2370] -0.61 3852 1
## log_lik[2371] -0.55 3865 1
## log_lik[2372] -0.41 3851 1
## log_lik[2373] -0.45 3911 1
## log_lik[2374] -0.41 3851 1
## log_lik[2375] -0.45 3911 1
## log_lik[2376] -0.41 3851 1
## log_lik[2377] -0.61 3852 1
## log_lik[2378] -0.41 3851 1
## log_lik[2379] -0.41 3851 1
## log_lik[2380] -0.41 3851 1
## log_lik[2381] -0.41 3851 1
## log_lik[2382] -0.41 3851 1
## log_lik[2383] -0.45 3911 1
## log_lik[2384] -0.55 3865 1
## log_lik[2385] -0.84 3910 1
## log_lik[2386] -0.45 3911 1
## log_lik[2387] -0.89 3857 1
## log_lik[2388] -0.41 3851 1
## log_lik[2389] -0.41 3851 1
## log_lik[2390] -0.45 3911 1
## log_lik[2391] -0.61 3852 1
## log_lik[2392] -0.45 3911 1
## log_lik[2393] -0.41 3851 1
## log_lik[2394] -0.41 3851 1
## log_lik[2395] -0.55 3865 1
## log_lik[2396] -0.61 3852 1
## lp__ -1381.32 2290 1
##
## Samples were drawn using NUTS(diag_e) at Tue Nov 22 15:07:01 2016.
## For each parameter, n_eff is a crude measure of effective sample size,
## and Rhat is the potential scale reduction factor on split chains (at
## convergence, Rhat=1).(You should examine the convergence by tracepolots.)
plot(precis(fit_ex3, pars = 'b', depth = 2))
# Or
# plot(fit_ex3, pars = 'b')Evalute the fit.
mcsample <- rstan::extract(fit_ex3)
d3 <- d3 %>% mutate(A = as.factor(A),
p5 = apply(mcsample$theta, 2, quantile, .05),
p50 = apply(mcsample$theta, 2, quantile, .5),
p95 = apply(mcsample$theta, 2, quantile, .95),
p_mean = apply(mcsample$theta, 2, mean))
# error rate
ert <- with(d3, mean((p_mean > 0.5 & Y == 0) | (p_mean < 0.5 & Y == 1)))
# hit rate
1 - ert## [1] 0.7191152# baseline
max(mean(d3$Y), 1 - mean(d3$Y))## [1] 0.7186978Visualize the predicted probability of outcome being one.
p1 <- ggplot(d3, aes(x = Score, color = A, shape = A)) +
geom_ribbon(aes(ymin = p5, ymax = p95), fill = 'gray', color = 'gray') +
geom_line(aes(y = p50)) +
facet_wrap(~ Weather) +
geom_point(aes(y = Y), position = position_jitter(height = .1))
print(p1)
Violin plot of observed outcome vs. predicted probability.
p2 <- ggplot(d3, aes(x = as.factor(Y), y = p_mean)) +
geom_violin(trim = FALSE, color = 'gray', fill = 'gray') +
geom_point(aes(color = A, shape = A),
position = position_jitter(width = .3)) +
labs(y = 'Predicted probability', x = 'Observed outcome') +
coord_flip()
print(p2)
ROC curve with uncertainty. Reuse the function we used in Introduction to GLM.
## Function to calculate the true positive rate (sensitivity)
true_pos <- function(predicted, observed, cutoff = .5) {
n <- length(cutoff)
res <- rep(NA, n)
for (i in 1:n) {
cond_met <- predicted >= cutoff[i] & observed == 1
res[i] <- mean(cond_met) / mean(observed)
}
return(res)
}
## Function to calculate the false positive rate（1- specificity)
false_pos <- function(predicted, observed, cutoff = .5) {
n <- length(cutoff)
res <- rep(NA, n)
for (i in 1:n) {
cond_met <- predicted >= cutoff[i] & observed == 0
res[i] <- mean(cond_met) / (1 - mean(observed))
}
return(res)
}
## Get TPRs and FPRs by changing the cutoff from 0 to 1
cutoff_vec <- seq(0, 1, length = 1000)
tp_mean <- true_pos(d3$p_mean, d3$Y, cutoff = cutoff_vec)
tp_lb <- true_pos(d3$p5, d3$Y, cutoff = cutoff_vec)
tp_ub <- true_pos(d3$p95, d3$Y, cutoff = cutoff_vec)
fp_mean <- false_pos(d3$p_mean, d3$Y, cutoff = cutoff_vec)
df <- data.frame(tp = tp_mean, lb = tp_lb, ub = tp_ub, fp = fp_mean)
roc <- ggplot(df, aes(x = fp_mean, y = tp_mean, ymin = lb, ymax = ub)) +
geom_ribbon(fill = 'gray') +
geom_line(color = 'tomato') +
geom_abline(intercept = 0, slope = 1, linetype = 'dashed') +
labs(x = '1 - specificity', y = 'sensitivity', title = 'ROC Curve')
print(roc)
Posterior distribution of parameters.
df <- data.frame(mcsample$b)
names(df) <- paste0('b', 1:4)
hist1 <- ggplot(df, aes(y = ..density..)) +
geom_histogram(aes(x = b1), color = 'black') +
geom_vline(xintercept = 0, color = 'red')
print(hist1)## `stat_bin()` using `bins = 30`. Pick better value with `binwidth`.
hist2 <- ggplot(df, aes(y = ..density..)) +
geom_histogram(aes(x = b2), color = 'black') +
geom_vline(xintercept = 0, color = 'red')
print(hist2)## `stat_bin()` using `bins = 30`. Pick better value with `binwidth`.
hist3 <- ggplot(df, aes(y = ..density..)) +
geom_histogram(aes(x = b3), color = 'black') +
geom_vline(xintercept = 0, color = 'red')
print(hist3)## `stat_bin()` using `bins = 30`. Pick better value with `binwidth`.
hist4 <- ggplot(df, aes(y = ..density..)) +
geom_histogram(aes(x = b4), color = 'black') +
geom_vline(xintercept = 0, color = 'red')
print(hist4)## `stat_bin()` using `bins = 30`. Pick better value with `binwidth`.
We can calculate a variety of probabilities. For instance, let’s get the probability of b3 > 0.
sum(df$b3 > 1) / nrow(df)## [1] 0.9955So the probability is larger than .99, which implies that the effect of Score on attendance is surely positive. However, as we have seen above, Score cannot distinguish the outcome well. So, the fact that the effect exists (or thta it is significant in frequentist sense) does not imply the substantive significance of the variable.