10  \(t\) 分布を利用した母平均の推定

今回の目標

10.1 準備

必要なパッケージを読み込み、図の日本語が正しく表示されるようにする。

library(tidyverse)

## 図のなかで日本語を使えるようにする
## フォントの設定はお好みで
## (Unix/Linux ではIPAexフォントのインストールが必要かも)
if (.Platform$OS.type == "windows") { # Windows
  library(fontregisterer)
  my_font <- "Yu Gothic"
} else if (capabilities("aqua")) { # macOS
  my_font <- "HiraginoSans-W3"
} else { # Unix/Linux
  my_font <- "IPAexGothic"
}
theme_set(theme_gray(base_size = 9,
                     base_family = my_font))

10.2 母集団を定義する

成人男性の身長に興味があるとする。母集団の人口を100万、母平均を約170cm、母標準偏差を約6cm に設定する。

pop <- rnorm(1e6, mean = 170, sd = 6)

母集団の身長分布は以下のようになる。

pop_height <- ggplot(tibble(pop), 
                     aes(x = pop, 
                         y = after_stat(density))) +
  geom_histogram(color = "black") +
  labs(x = "身長 (cm)", 
       y = "確率密度", 
       title = "母集団の分布")
plot(pop_height)
`stat_bin()` using `bins = 30`. Pick better value with `binwidth`.

この母集団の身長の平均(母平均)は、

mean(pop)
[1] 169.9955

であり、身長の標準偏差(母標準偏差)は、

sd(pop)
[1] 6.011032

である。

10.3 標本を抽出して母平均を推定する

10.3.1 標本抽出と母平均の推定のシミュレーション

100万人の母集団で全員を調べるのではなく、10人だけ標本として抜き出して母平均を推定することを考える。 シミュレーションで標本抽出を1万回繰り返し、それぞれの標本で標本平均を計算しよう。

まず、標本サイズを10に、シミュレーション回数を1万に設定する。

N <- 10          # 標本サイズ
n_sims <- 1e4    # シミュレーションの繰り返し回数

1万個の標本平均を保存するためのベクトルを用意する。

means <- rep(NA, 1e4)

また、後で使うので、不偏分散の平方根も保存できるようにする。

u <- rep(NA, 1e4)

母集団 pop から標本サイズ N = 10 の標本を抽出する作業を n_sims = 10^{4} 回繰り返し、それぞれで標本平均と不偏分散の平方根を計算する。

for (i in 1 : n_sims) {
  smpl <- sample(pop, size = N, replace = FALSE)
  means[i] <- mean(smpl)
  u[i] <- sd(smpl)
}

標本平均の標本分布を確認してみよう。

df_sim <- tibble(mean = means, 
                 sd = u)
h1 <- ggplot(df_sim, aes(x = mean)) +
  geom_histogram(binwidth = 1, 
                 color = "black", 
                 fill = "dodgerblue") +
  labs(x = "身長の標本平均 (cm)", 
       y = "度数")
plot(h1)

なんとなく正規分布になっているように見えるが、はたしてそうだろうか。 得られた標本平均を標準化して、標準正規分布と分布を比べてみよう。

10.3.1.1 母分散 \(\sigma^2\) を知っているとき

母分散 \(\sigma^2\)(あるいは母標準偏差 \(\sigma\))を知っているという特殊な場合について考える。このとき、標本平均 \(\bar{x}\)は、以下の式で標準化 (standardize) できる。

\[ z = \frac{\bar{x} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{N}}}. \] 標本平均は不偏推定量なので、 \[ \mathbb{E}[\bar{x}] = \mu \] となる。そこで、\(\mu\) は、

(mu <- mean(means))
[1] 169.9729

としよう。

また、仮定により \(\sigma\) は知っているので母集団の \(\sigma\) を使う。

(sigma <- sd(pop))
[1] 6.011032

これらの値を使うと、標準化された標本平均 \(z\) は、

z <- (means - mu) / (sigma / sqrt(N))

となる。

この \(z\) の分布を確認してみよう。

df_sim$z <- z
h2 <- ggplot(df_sim, aes(x = z)) +
  geom_histogram(binwidth = 0.5, 
                 color = "black", 
                 fill = "lightblue") +
  labs(title = "母分散が既知の場合", 
       y = "度数")
plot(h2)

標準正規分布に似ているように見える。geom_density() を使って \(z\) の確率密度曲線(青い点線) を描き、標準正規分布の確率密度曲線(赤い実線)と比べてみよう。

df_sim$x <- seq(from = -4, to = 4, length.out = nrow(df_sim))
df_sim$dens <- dnorm(df_sim$x, mean = 0, sd = 1)
h3 <- ggplot(df_sim) +
  geom_histogram(aes(x = z, 
                     y = after_stat(density)),
                 binwidth = 0.5, 
                 color = "black", 
                 fill = "lightblue") +
  geom_density(aes(x = z, 
                   y = after_stat(density)), 
               color = "blue", 
               linetype = "dashed") +
  geom_line(aes(x = x, 
                y = dens), 
            color = "red") +
  labs(y = "確率密度", 
       title = "母分散が既知の場合")
plot(h3)

2つの確率密度曲線はほぼ一致している。

この例のように、母分散を知っているとき、標本平均を標準化した \(z\) の分布は標準正規分布に従う。したがって、私たちは区間推定に(これまでどおり)標準正規分布を利用することができる。

10.3.1.2 母分散 \(\sigma^2\) を知らないとき

しかし、通常私たちは標本しか調べられないので母分散を知らない。母分散を知らないときはどうなるだろうか。

母分散を知らないとき、先ほどと同じ標準化はできない。なぜなら、上で使った標準化の式には、\(\sigma\) が出てくるが、その値を知らないからだ。そこで、母標準偏差 \(\sigma\) の推定値として、不偏分散の平方根 \(u\) を使う。この値は既にuとして保存してある。

この \(u\) を使い、標本平均 \(\bar{x}\)は、以下の式で標準化する(\(\hat{z}\) は「\(z\)ハット」と読む)。 \[\hat{z} = \frac{\bar{x} - \mu}{\frac{u}{\sqrt{N}}}.\]

z_hat <- (means - mu) / (u / sqrt(N))

この \(\hat{z}\) の分布を確認してみよう。

df_sim$z_hat <- z_hat
h4 <- ggplot(df_sim, aes(x = z_hat)) +
  geom_histogram(binwidth = 0.5, 
                 color = "black", 
                 fill = "gray") +
  labs(x = expression(hat(z)),
       y = "度数", 
       title = "母分散が未知の場合")
plot(h4)

標準正規分布に似ているように見えるが、どうだろうか。geom_density() を使って \(\hat{z}\)の確率密度曲線(青い点線) を描き、標準正規分布の確率密度曲線(赤い実線)と比べてみよう。

h5 <- ggplot(df_sim) +
  geom_histogram(aes(x = z_hat, 
                     y = after_stat(density)),
                 binwidth = 0.5, 
                 color = "black", 
                 fill = "gray") +
  geom_density(aes(x = z_hat,
                   y = after_stat(density)), 
               color = "blue", 
               linetype = "dashed") +
  geom_line(aes(x = x, 
                y = dens), 
            color = "red") +
  labs(x = expression(hat(z)), 
       y = "確率密度", 
       title = "母分散が未知の場合")
plot(h5)

2つの確率密度曲線は、少しずれている。 2つの確率密度は、0(付近)で最大値をとるという点で同じである。 しかし、分布のばらつきが違う。 平均値付近を比べると、\(\hat{z}\) の分布の方が確率密度が低くなっている。 代わりに、分布の両裾を比べると、\(\hat{z}\) の分布の方が、確率密度が高い。 言い換えると、\(\hat{z}\) の分布は、標準正規分布よりも裾が厚い(重い)分布になっている。

この例のように、母分散を知らないとき、標本平均を標準化した \(\hat{z}\) の分布は標準正規分布に従わない。したがって、私たちは区間推定に標準正規分布を利用することができない

実は、\(\hat{z}\) の分布は自由度 \(N - 1\)\(t\) 分布にしたがっている。 ためしに(シミュレーションで使ったサンプル\(N\)は 10なので)自由度9の\(t\)分布の確率密度曲線(赤い実線)を重ね書きしてみよう。

df_sim$tdens <- dt(df_sim$x, df = 9)
h6 <- ggplot(df_sim) +
  geom_histogram(aes(x = z_hat, 
                     y = after_stat(density)),
                 binwidth = 0.5, 
                 color = "black", 
                 fill = "gray") +
  geom_density(aes(x = z_hat, 
                   y = after_stat(density)), 
               color = "blue", 
               linetype = "dashed") +
  geom_line(aes(x = x, y = tdens), 
            color = "red") +
  labs(x = expression(hat(z)), 
       y = "確率密度", 
       title = "母分散が未知の場合")
plot(h6)

このように、確率密度曲線がほぼ一致する。

10.3.1.3 \(\ast\)分布の比べ方

上の例では、確率密度曲線を重ね書きすることで分布を比較した。 もう少し厳密に分布を比べたいとき、特に2つの分布が同じ分布といえるかどうか確かめたいときには、Q-Qプロット (qunatile-quantile plot) という図を使う。

この図では、分布を確かめる対象となるシミュレーションで得た変数の分位点 (quantile) を縦軸に、比較対象の分布の分位点を横軸にとる。分位点と分位点を比べるので、Q-Q プロットと呼ばれる。

分位点とは、簡単に言うと、「確率分布で下からa%分に相当する値はいくつか」という値である。標準正規分布では、2.5%の分位点 (「2.5パーセンタイル」と呼ばれる) は\(-1.96\)、50%の分位点(50パーセンタイル)は0、97.5%の分位点は1.96 である。 Rでは、quantile() で分位点を求めることができる。

quantile(z, probs = c(0.025, 0.5, 0.975))
        2.5%          50%        97.5% 
-1.968565253 -0.001995798  1.922012245 

シミュレーションで得た \(z\) の分布については、2.5パーセンタイルが -1.97、50パーセンタイルが0、97.5パーセンタイルが 1.92 であることがわかる。

2つの分布がもし完全に一致するなら、2つの分布の a% の分位点は、aがどんな値であっても等しいはずである。したがって、片方の分布の分位点を \(y\)、もう一方の分布の分位点を \(x\) とすれば、2つの分布が等しいときには \(y=x\) になるはずである。つまり、yとxの散布図の点が45度線の上にすべて乘るはずである。

この性質を利用し、Q-Qプロット上の点が45度線の上にあるかどうか(45度線からどれだけずれているか)を調べることで、分布を比較してみよう。

まず、\(z\)(母分散を知っているときに、標本平均を標準化したもの; sample)と標準正規分布 (qnorm) を比べてみよう。 標準正規分布と比較するためのQ-Qプロットは、stat_qq() で作れる。

qq1 <- ggplot(df_sim, aes(sample = z)) + 
  geom_abline(intercept = 0, 
              slope = 1, 
              linetype = "dashed") +  # 45度線 
  stat_qq(distribution = qnorm) +
  coord_fixed(ratio = 1) +           # 図の縦横比を1:1にする
  labs(x = "標準正規分布", 
       y = "シミュレーションで得たz")
plot(qq1)

シミュレーションなので多少のずれはあるものの、点がほぼ45度線上にあることがわかる。

次に、\(\hat{z}\)(母分散を知らないときに、標本平均を標準化したもの)と標準正規分布を比べてみよう。

qq2 <- ggplot(df_sim, aes(sample = z_hat)) + 
  geom_abline(intercept = 0, 
              slope = 1, 
              linetype = "dashed") +  # 45度線 
  stat_qq(distribution = qnorm) +
  xlim(-6, 6) + ylim(-6, 6) +
  coord_fixed(ratio = 1) +            # 図の縦横比を1:1にする
  labs(x = "標準正規分布", 
       y = expression(paste("シミュレーションで得た", hat(z))))
plot(qq2)
Warning: Removed 4 rows containing missing values (`geom_point()`).

先ほどとは異なり、点が45度線から大きくずれている。ここから、\(\hat{z}\)は標準正規分布に従わないことがよりはっきりとわかる。特に、裾(図の両端)で標準正規分布との違いが大きいことがわかるだろう。

最後に、\(\hat{z}\)(母分散を知らないときに、標本平均を標準化したもの)と自由度9の\(t\)分布 (qt(df = 9)) を比べてみよう。

qq3 <- ggplot(df_sim, aes(sample = z_hat)) + 
  geom_abline(intercept = 0,
              slope = 1,
              linetype = "dashed") +  # 45度線 
  stat_qq(distribution = qt, dparams = 9) +
  xlim(-6, 6) + ylim(-6, 6) +
  coord_fixed(ratio = 1) +            # 図の縦横比を1:1にする
  labs(x = "自由度9のt分布",
       y = expression(paste("シミュレーションで得た", hat(z))))
plot(qq3)
Warning: Removed 4 rows containing missing values (`geom_point()`).

やはり多少のずれはあるものの、ほとんどの点が45度線上に乗っていることがわかる。よって、\(\hat{z}\)は、自由度9の\(t\)分布に従っていると言えそうである(少なくとも、「自由度9の\(t\)分布に従っていない」とはっきり言うことはできない)。

10.4 \(t\) 分布を理解する

\(t\) 分布は、自由度 \(df > 0\) によってその形を変える。

たとえば、自由度1, 2, 10の \(t\)乗分布は以下のように分布する。比較のため、標準正規分布も一緒に示す。

まず、データフレームを作る。

x1 <-  seq(-3, 3, length = 1000)
stdn <- dnorm(x1, mean = 0, sd = 1)
t1 <- dt(x1, df = 1)
t2 <- dt(x1, df = 2)
t10 <- dt(x1, df = 10)
df_t <- tibble(x = rep(x1, 4),
               t = c(stdn, t1, t2, t10),
               group = rep(c("stdn", "t1", "t2", "t10"), rep(1000, 4)))
glimpse(df_t)
Rows: 4,000
Columns: 3
$ x     <dbl> -3.000000, -2.993994, -2.987988, -2.981982, -2.975976, -2.969970…
$ t     <dbl> 0.004431848, 0.004512344, 0.004594136, 0.004677241, 0.004761679,…
$ group <chr> "stdn", "stdn", "stdn", "stdn", "stdn", "stdn", "stdn", "stdn", …

図を作る(この図の作り方は理解できなくてもよい)。

plt_t <- ggplot(df_t, aes(x = x, y = t, 
                          color = group, linetype = group)) +
  geom_line() +
  scale_color_brewer(palette = "Accent",
                     name = "", 
                     labels = c("標準正規分布", "t(df = 1)",
                                "t(df = 2)", "t(df = 10)")) +
  scale_linetype_discrete(name = "", 
                          labels = c("標準正規分布", "t(df = 1)",
                                     "t(df = 2)", "t(df = 10)")) +
  labs(x = "", y = "確率密度")
plot(plt_t)

\(t\)分布の特徴として、

  • 0を中心として左右対称
  • 標準正規分布より山の頂上が低く、裾が厚い(重い)
  • 自由度が大きくなるほど標準正規分布に近づく

という点が挙げられらる。

\(t\)分布の形状を確認するための関数を用意したので、これを使って色々な\(t\)分布の形状を確認し、\(t\)分布の特徴を理解しよう(この関数の中身を理解する必要はない)。

plot_t <- function(df) {
  x <- seq(from = -4, to = 4, length = 1000)
  t <- dt(x, df = df)
  nml <- dnorm(x, mean = 0, sd = 1)
  d <- tibble(x, t, nml)
  p <- ggplot(d, aes(x = x)) +
    geom_line(aes(y = nml), linetype = "dashed") +
    geom_line(aes(y = t), color = "royalblue") +
    labs(x = "", y = "確率密度",
         title = str_c("自由度", df, "のt分布(青い実線)と標準正規分布(黒い点線)"))
  plot(p)
}

自由度1の\(t\)分布は、

plot_t(df = 1)

自由度3の \(t\)分布は、

plot_t(df = 3)

となることが確認できる。

実習課題

自由度 (df) の値をによって\(t\)分布がどのように変化するか、関数 plot_t() を使って確かめてみよう。

10.5 \(t\) 分布を利用した区間推定

\(t\) 分布を使った区間推定の方法も、基本的に標準正規分布を使った推定方法と同じである。 身長 \(x\) の点推定値を \(\bar{x}\) とすると、以下のように定義される信頼区間 (confidence interval) を区間推定に使う。

\[ \left[\bar{h} - t_{N-1, p} \cdot \mathrm{SE}, \bar{h} + t_{N-1, p} \cdot \mathrm{SE} \right]. \]

標準正規分布で \(Q\) と表していた値(qnorm() で求めた)を\(t_{N-1, p}\)qt() で求める)に変えただけである。

母集団から \(N=10\) の標本を1つ取り出して、身長の母平均を推定してみよう。

smpl_1 <- sample(pop, size = 10, replace = FALSE)

身長 \(x\) の母平均の点推定値 \(\bar{x}\) は、

(x_bar <- mean(smpl_1))
[1] 167.7088

である。

また、標準誤差は、\[\mathrm{SE} = \frac{u}{\sqrt{N}}\] だから、

(se <- sd(smpl_1) / sqrt(10))
[1] 2.283386

である。

ここで、標本サイズ\(N = 10\) だから、区間推定を行うには自由度 \(N - 1 = 9\)\(t\) 分布を利用する。95パーセント信頼区間を求めたいとすると、\(t\)分布の下側2.5%分と、上側2.5%分を除外したい。そのために必要なのが、\(t_{9, 0.025}\)(または、\(-t_{9, 0.025}\))の値である。これを qt() で求める。

qt(df = 9, p = 0.025)  # 下側
[1] -2.262157
## qt(df = 9, p = 0.025, lower.tail = FALSE)  # 上側
## qt(df = 9, p = 0.975)  # 上側はこれでも求められる

これらの値を使うと、母平均の95%信頼区間を求める。

(lb <- x_bar + qt(df = 9, p = 0.025) * se)
[1] 162.5434
(ub <- x_bar + qt(df = 9, p = 0.975) * se)
[1] 172.8742

よって、母平均の95%信頼区間は、[162.54, 172.87] である。

ちなみに、\(t\) 分布の代わりに標準正規分布を使って95%信頼区間を求めると、

(lb_n <- x_bar + qnorm(p = 0.025) * se)
[1] 163.2335
(ub_n <- x_bar + qnorm(p = 0.975) * se)
[1] 172.1842

となり、[163.23, 172.18] という区間が得られる。この区間は、\(t\)分布を使って求めた区間よりも短い。 つまり、標準正規分布を使うと、不確実性を低く見積もり、「自信過剰な」信頼区間を出してしまう。結果として、標本抽出を繰り返しても95%信頼区間が正解を出す確率が95%よりも低くなってしまうので注意が必要である。

最後に、\(t\) 分布を使って区間推定を行う関数を作っておこう。

get_ci <- function(x, level = 0.95) {
  ## t 分布を利用して母平均の95%信頼区間を求める関数
  ## 引数:x = 標本(観測値のベクトル)
  ##       level = 信頼度(既定値は0.95)
  N <- length(x)  # 標本サイズを調べる
  x_bar <- mean(x)
  se <- sd(x) / sqrt(N)
  t <- qt(df = N - 1, p = (1 - level) / 2, lower.tail = FALSE)
  lb <- x_bar - t * se
  ub <- x_bar + t * se
  confint <- c(下限値 = lb, 上限値 = ub)
  message(paste0(level * 100, "%信頼区間"))
  return(confint)
}

この関数を使ってみよう。標本1 (smpl_1) から得られる母平均の95%信頼区間は、

get_ci(smpl_1)
95%信頼区間
  下限値   上限値 
162.5434 172.8742 

となり、先ほどと同じ結果が得られた。

89%信頼区間は、

get_ci(smpl_1, level = 0.89)
89%信頼区間
  下限値   上限値 
163.6606 171.7571 

である。

99.9%信頼区間は、

get_ci(smpl_1, level = 0.999)
99.9%信頼区間
  下限値   上限値 
156.7921 178.6255 

である。